On peut, au moyen de ces équations, déterminer généralement la loi de la profondeur de la mer qui rend les oscillations de la seconde espèce nulles pour tous les lieux de la Terre. En effet, relativement à ces oscillations,
étant très-peu différent de
on peut supposer
dans les équations précédentes. De plus,
et
étant nuls par la supposition, les valeurs de
et de
sont, par le no 7,
et
étant une fonction de
indépendante de
et de
En substituant ces valeurs dans l’équation précédente entre
et
on trouvera
![{\displaystyle 0=\cos \varpi {\frac {\partial \gamma }{\partial \mu }}{\sqrt {1-\mu ^{2}}}+{\frac {\mu {\frac {\partial \gamma }{\partial \varpi }}\sin \varpi }{\sqrt {1-\mu ^{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19f33dde2827cd2520b614be0935414b514cd249)
L’équation entre
et
donnera
![{\displaystyle 0=\sin \varpi {\frac {\partial \gamma }{\partial \mu }}{\sqrt {1-\mu ^{2}}}-{\frac {\mu {\frac {\partial \gamma }{\partial \varpi }}\cos \varpi }{\sqrt {1-\mu ^{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed2accb6bc1dd84f206e357c05d7b4f9fa034f35)
d’où l’on tire
et par conséquent
égal à une constante. Les oscillations de la seconde espèce ne peuvent donc disparaître pour toute la Terre que dans le seul cas où la profondeur de la mer est constante.
Si les oscillations de la troisième espèce sont nulles pour toute la Terre,
et
sont nuls relativement à ces oscillations, et l’on a, par le no 9,
![{\displaystyle {\rm {F'=N\left(1-\mu ^{2}\right)\cos 2\varpi ,\qquad G'=-N\left(1-\mu ^{2}\right)\sin 2\varpi ,}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/694c4a8125086e264d92a923d005b41f994a3f95)
étant une fonction de
indépendante de
et de
On peut, de plus, supposer à très-peu près
cela posé, l’équation entre
, et
donnera
![{\displaystyle 0={\frac {2\gamma \cos 2\varpi }{\left(1-\mu ^{2}\right)}}+\mu {\frac {\partial \gamma }{\partial \mu }}\cos 2\varpi +{\frac {\left(1+\mu ^{2}\right){\frac {\partial \gamma }{\partial \varpi }}\sin 2\varpi }{2\left(1-\mu ^{2}\right)}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2203642c2ba35f66a4a15f2cd7548f645885b725)
l’équation entre
, et
donnera
![{\displaystyle 0={\frac {2\gamma \sin 2\varpi }{\left(1-\mu ^{2}\right)}}+\mu {\frac {\partial \gamma }{\partial \mu }}\sin 2\varpi -{\frac {\left(1+\mu ^{2}\right){\frac {\partial \gamma }{\partial \varpi }}\cos 2\varpi }{2\left(1-\mu ^{2}\right)}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b201781cfd16a13b4602a187d4cc783789046360)