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$(\psi '-\psi )^{2}+{\frac {1}{4}}q^{2},$ l’arc $\psi '-\psi$ se rapportant ici à la basse mer intermédiaire. Ainsi, les variables des deux formules précédentes se rapportant à cette basse mer, le carré $(\psi '-\psi )^{2}$ doit, pour plus d’exactitude, être augmenté de ${\frac {1}{4}}q^{2}$ dans l’expression de $y',$ et de ${\frac {1}{8}}q^{2}$ dans celle de $y''.$

22. Développons les expressions de $y'$ et de $y''$ relatives aux équinoxes et aux solstices, pour déterminer l’influence des déclinaisons des astres sur les marées. Le terme

$-{\frac {1+3\cos 2\theta }{8g\left(1-{\frac {3}{5\rho }}\right)}}\left[{\frac {\rm {L}}{r^{3}}}\left(1-3\sin ^{2}v\right)+{\frac {\rm {L'}}{r'^{3}}}\left(1-3\sin ^{2}v'\right)\right]$

de l’expression de $y'$ est très-petit ; on peut donc y supposer, sans erreur sensible, que les variables $r,v,r',v'$ se rapportent à l’instant même de la syzygie. Lorsque l’on fait une somme des valeurs de $y$ relatives à deux syzygies consécutives, on peut supposer, dans le terme précédent, $r'$ égal à la moyenne distance de la Lune à la Terre dans les syzygies ; car il est visible que, si la Lune est apogée dans une syzygie, elle est à peu près périgée dans la syzygie suivante, $r$ est à peu près égal à la moyenne distance de la Terre au Soleil, dans les syzygies des équinoxes, et, si l’on considère autant de syzygies vers les solstices d’hiver que vers les solstices d’été, on peut supposer encore $r$ égal à cette distance moyenne.

La partie ${\rm {P}}\left({\frac {\rm {L}}{r^{3}}}\cos ^{2}v+{\frac {\rm {L'}}{r'^{3}}}\cos ^{2}v'\right)$ de l’expression de $y'$ change sensiblement dans l’intervalle de quelques jours, et, comme elle est considérable dans nos ports, il est nécessaire d’avoir égard à sa variation. Pour cela, soient $\varepsilon '$ l’inclinaison de l’orbe lunaire à l’équateur, et $\Gamma '$ la distance de la Lune au nœud ascendant de son orbite sur l’équateur ; on aura $\sin v'=\sin \varepsilon '\sin \Gamma ',$ et par conséquent

$\cos ^{2}v'=1-{\frac {1}{2}}\sin ^{2}\varepsilon '+\sin ^{2}s\varepsilon '\cos 2\Gamma '.$

Nommons $t$ le temps écoulé depuis le maximum de la marée jusqu’au