Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 2.djvu/33

on aura donc, relativement aux ellipsoïdes de révolution dont $k$ est le demi-axe de révolution,

${\begin{aligned}&{\rm {A}}={\frac {3a{\rm {M}}}{k^{3}\lambda ^{3}}}\left(\lambda -\operatorname {arctang} \lambda \right),\\\\&{\rm {B}}={\frac {3b{\rm {M}}}{2k^{3}\lambda ^{3}}}\left(\operatorname {arctang} \lambda -{\frac {\lambda }{1+\lambda ^{2}}}\right),\\\\&{\rm {C}}={\frac {3c{\rm {M}}}{2k^{3}\lambda ^{3}}}\left(\operatorname {arctang} \lambda -{\frac {\lambda }{1+\lambda ^{2}}}\right).\end{aligned}}$

4. Considérons présentement l’attraction des sphéroïdes sur un point extérieur. Cette recherche présente de plus grandes difficultés que la précédente, à cause du radical ${\sqrt {\rm {R}}}$ qui entre dans les expressions différentielles, et qui rend sous cette forme les intégrations impossibles. On peut les rendre possibles par une transformation convenable des variables dont elles sont fonctions ; mais, au lieu de ce moyen, j’ai fait usage de la méthode suivante, uniquement fondée sur la différentiation des fonctions.

Si l’on désigne par ${\rm {V}}$ la somme de toutes les molécules du sphéroïde divisées par leurs distances respectives au point attiré, et que l’on nomme $x,y,z$ les coordonnées de la molécule $d{\rm {M}}$ du sphéroïde, et $a,b,c$ celles du point attiré, on aura

${\rm {V}}=\int {\frac {d{\rm {M}}}{\sqrt {(a-x)^{2}+(b-y)^{2}+(c-z)^{2}}}}.$

En désignant ensuite, comme précédemment, par ${\rm {A,B,C}}$ les attractions du sphéroïde parallèlement aux axes des $x$, des $y$ et des $z$, et dirigées vers leur origine, on aura

${\rm {A}}=\int {\frac {(a-x){\rm {M}}}{\left[(a-x)^{2}+(b-y)^{2}+(c-z)^{2}\right]^{\frac {3}{2}}}}=-{\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial a}}.$

On aura pareillement

${\rm {B}}=-{\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial b}},\qquad {\rm {C}}=-{\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial c}},$