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3. Considérons présentement les valeurs de $dN,dN',dN''$ qui entrent dans les équations différentielles (D’) du n^o 1. Soit ${\rm {L}}$ la masse d’un astre qui agit sur la Terre ; soient $x,y,z$ les coordonnées de son centre, rapportées au centre de gravité de la Terre, et $r_{\text{ı}}={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\,;$ nommons $x',y',z'$ les coordonnées d’une molécule $dm$ du sphéroïde terrestre ; supposons enfin

${\rm {V}}=-{\rm {L}}{\frac {xx'+yy'+zz'}{r_{\text{ı}}^{3}}}+{\frac {\rm {L}}{\sqrt {(x'-x)^{2}+(y'-y)^{2}+(z'-z)^{2}}}}\,;$

les forces attractives de ${\rm {L}}$ sur la molécule $dm$, décomposées parallèlement aux axes des $x,$ des $y$ et des $z,$ en sens opposé à leur origine, et diminuées des mêmes forces attractives sur le centre de gravité de la Terre, que nous considérons ici comme immobile, seront ${\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial x'}},{\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial y'}},{\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial z'}}.$ Ces forces sont celles que nous avons désignées par ${\rm {P,Q,R}}$ dans le n^o 25 du Livre I ; on aura donc, par ce même numéro,

${\begin{aligned}{\frac {d{\rm {N}}}{dt}}&=\int dm\left(x'{\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial y'}}-y'{\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial x'}}\right),\\\\{\frac {d{\rm {N'}}}{dt}}&=\int dm\left(x'{\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial z'}}-z'{\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial x'}}\right),\\\\{\frac {d{\rm {N''}}}{dt}}&=\int dm\left(y'{\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial z'}}-z'{\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial y'}}\right).\end{aligned}}$

Si l’on observe ensuite que l’on a

$x'{\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial y'}}-y'{\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial x'}}=y{\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial x}}-x{\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial y}},$

on aura

${\begin{aligned}{\frac {d{\rm {N}}}{dt}}&=\int dm\left(y{\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial x}}-x{\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial y}}\right),\\\\{\frac {d{\rm {N'}}}{dt}}&=\int dm\left(z{\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial x}}-x{\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial z}}\right),\\\\{\frac {d{\rm {N''}}}{dt}}&=\int dm\left(z{\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial y}}-y{\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial z}}\right).\end{aligned}}$