à différences partielles,
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On peut éliminer de cette équation les quantités
et
au moyen de leurs valeurs
et
on aura ainsi une équation aux différences partielles en
seul. Soit donc
![{\displaystyle {\rm {V}}={\frac {4\pi k^{3}}{3{\sqrt {mn}}}}v={\rm {M}}v,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b22a2ffe16d909825e0014d3559fa0a0b1e2e02)
étant, par le no 1, la masse du sphéroïde elliptique, et, au lieu des variables
et
, introduisons celles-ci
et
, qui soient telles que l’on ait
![{\displaystyle \theta ={\frac {1-m}{m}}k^{2},\qquad \varpi ={\frac {1-n}{n}}k^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/184abc0610d45f90ae91cf58b083e04191d371de)
sera la différence du carré de l’axe du sphéroïde parallèle aux
au carré de l’axe parallèle aux
sera la différence du carré de l’axe des
au carré de l’axe des
; en sorte que, si l’on prend pour l’axe des
le plus petit des trois axes du sphéroïde,
et
seront ses deux excentricités. On aura ainsi
![{\displaystyle {\begin{aligned}k{\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial k}}&=\ \ {\rm {M}}\left(2\theta {\frac {\partial v}{\partial \theta }}+2\varpi {\frac {\partial v}{\partial \varpi }}+k{\frac {\partial v}{\partial k}}+3v\right),\\\\{\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial m}}&=-{\rm {M}}\left({\frac {k^{2}}{m^{2}}}{\frac {\partial v}{\partial \theta }}+{\frac {v}{2m}}\right),\\\\{\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial n}}&=-{\rm {M}}\left({\frac {k^{2}}{n^{2}}}{\frac {\partial v}{\partial \varpi }}+{\frac {v}{2n}}\right),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47f8c004af701ae52f3d0a1b02c185c6d3eabd7e)
étant considéré, dans les premiers membres de ces équations, comme