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Pour intégrer ces fonctions relativement à ${\rm {R}}$, nous observerons que, la profondeur de la mer étant supposée très-petite, on peut supposer ${\rm {R=1}}$ et $\int {\rm {R}}^{2}d{\rm {R}}=\gamma .$ Si, de plus, on change les différences partielles ${\frac {\partial {\rm {U}}}{\partial x'}},{\frac {\partial {\rm {U}}}{\partial y'}}$ et ${\frac {\partial {\rm {U}}}{\partial z'}}$ en d’autres relatives aux variables ${\rm {R,\varpi }}$ et $\mu ,$ les fonctions précédentes deviendront, en les prenant avec un signe contraire,

${\begin{aligned}&-\iint \alpha \gamma d\mu d\varpi {\frac {\partial {\rm {U}}}{\partial \varpi }},\\\\&-\iint \alpha \gamma d\mu d\varpi \left({\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi {\frac {\partial {\rm {U}}}{\partial \mu }}+{\frac {\mu \sin \varpi }{\sqrt {1-\mu ^{2}}}}{\frac {\partial {\rm {U}}}{\partial \varpi }}\right),\\\\&-\iint \alpha \gamma d\mu d\varpi \left({\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi {\frac {\partial {\rm {U}}}{\partial \mu }}-{\frac {\mu \cos \varpi }{\sqrt {1-\mu ^{2}}}}{\frac {\partial {\rm {U}}}{\partial \varpi }}\right).\end{aligned}}$

Si l’on réunit ces valeurs aux expressions partielles de ${\frac {dN}{dt}},{\frac {dN'}{dt}}$ et ${\frac {dN''}{dt}}$ trouvées ci-dessus, on aura, pour les expressions entières de ces quantités relatives à l’attraction et à la pression de l’océan sur le sphéroïde terrestre,

${\begin{aligned}{\frac {dN}{dt}}=&-\iint \alpha gyd\mu d\varpi {\frac {\partial \gamma }{\partial \varpi }}-\iint \alpha \gamma d\mu d\varpi {\frac {\partial {\rm {U}}}{\partial \varpi }},\\\\{\frac {dN'}{dt}}=&-\iint \alpha gyd\mu d\varpi \left({\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi {\frac {\partial \gamma }{\partial \mu }}+{\frac {\mu \sin \varpi }{\sqrt {1-\mu ^{2}}}}{\frac {\partial \gamma }{\partial \varpi }}\right)\\\\&-\iint \alpha \gamma d\mu d\varpi \left({\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi {\frac {\partial {\rm {U}}}{\partial \mu }}+{\frac {\mu \sin \varpi }{\sqrt {1-\mu ^{2}}}}{\frac {\partial {\rm {U}}}{\partial \varpi }}\right)\\\\&-\iint \alpha n^{2}yd\mu d\varpi .\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi ,\\\\{\frac {dN''}{dt}}=&-\iint \alpha gyd\mu d\varpi \left({\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi {\frac {\partial \gamma }{\partial \mu }}-{\frac {\mu \cos \varpi }{\sqrt {1-\mu ^{2}}}}{\frac {\partial \gamma }{\partial \varpi }}\right)\\\\&-\iint \alpha \gamma d\mu d\varpi \left({\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi {\frac {\partial {\rm {U}}}{\partial \mu }}-{\frac {\mu \cos \varpi }{\sqrt {1-\mu ^{2}}}}{\frac {\partial {\rm {U}}}{\partial \varpi }}\right)\\\\&-\iint \alpha n^{2}yd\mu d\varpi .\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi .\end{aligned}}$

Les intégrales précédentes doivent être prises depuis $\mu =-1$ jusqu’à $\mu =1,$ et depuis $\varpi =0$ jusqu’à $\varpi$ égal à quatre angles droits. En inté-