termes,
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d{\rm {N'\sin \varphi +d{\rm {N''\cos \varphi }}}}}{dt}}=\iint \alpha \gamma d\mu d\varpi {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin(\varphi +\varpi ){\frac {\partial f}{\partial \mu }},\\&{\frac {d{\rm {N'\cos \varphi -d{\rm {N''\sin \varphi }}}}}{dt}}=\iint \alpha \gamma d\mu d\varpi {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos(\varphi +\varpi ){\frac {\partial f}{\partial \mu }}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/005a2649390271d5ba1e1cd4c02d22f444200463)
Considérons présentement les parties de
et de
qui dépendent d’angles très-peu différents de
On a
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d{\rm {N'\sin \varphi +d{\rm {N''\cos \varphi }}}}}{dt}}&=\iint \alpha \gamma d\mu d\varpi {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin(\varphi +\varpi )\left(g{\frac {\partial y}{\partial \mu }}-{\frac {\partial {\rm {U}}}{\partial \mu }}\right)\\&-\iint \alpha \gamma d\mu d\varpi {\frac {\mu }{\sqrt {1-\mu ^{2}}}}\cos(\varphi +\varpi )\left(g{\frac {\partial y}{\partial \varpi }}-{\frac {\partial {\rm {U}}}{\partial \varpi }}\right)\\&-\iint \alpha n^{2}yd\mu d\varpi .\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin(\varphi +\varpi ).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cae530264ee6155f3981a20b0bf565e7f8df51a)
La première des équations (I) donne
![{\displaystyle \iint \alpha n^{2}yd\mu d\varpi .\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin(\varphi +\varpi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b20472ddcbdf72c82e5ae560604c737cb8586eb9)
![{\displaystyle =\iint \alpha n^{2}d\mu d\varpi .\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin(\varphi +\varpi )\left({\frac {\partial .\gamma u{\sqrt {1-\mu ^{2}}}}{\partial \mu }}-{\frac {\partial .\gamma v}{\partial \varpi }}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c352bf35c183e94c312cd4ea93c72ab25678975)
En intégrant depuis
jusqu’à
on a
![{\displaystyle \int \mu d\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}{\frac {\partial .\gamma u{\sqrt {1-\mu ^{2}}}}{\partial \mu }}=-\int \gamma ud\mu \left(1-2\mu ^{2}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/510e4f297b18ed84a5f95b1c657ce49f854b64fa)
on a pareillement, en intégrant depuis
jusqu’à
égal à quatre angles droits,
![{\displaystyle \int d\varpi \sin(\varphi +\varpi ){\frac {\partial .\gamma v}{\partial \varpi }}=-\int \gamma vd\varpi \cos(\varphi +\varpi )\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7249547bfd38f0cb8eb2b598c2ea73c85b34d617)
partant,
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\iint \alpha n^{2}yd\mu d\varpi .\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin(\varphi +\varpi )=\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -\iint \alpha n^{2}\gamma ud\mu d\varpi \left(1-2\mu ^{2}\right)\sin(\varphi +\varpi )\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +\iint \alpha n^{2}\gamma vd\mu d\varpi .\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos(\varphi +\varpi ).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a0c3f0818381a97e13494bb15ed20635776245d)
On peut supposer
développé dans une suite de termes de la forme
étant fonction de
seul, et
étant un nombre