Si l’on néglige le carré de
on a, par le no 4,
![{\displaystyle p={\frac {d\varphi -d\psi }{dt}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0124365d1b51d1a0413e173763076c951b4f2fe6)
partant,
![{\displaystyle {\frac {p}{t}}={\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}+{\frac {dm}{dt}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c2d78470b0bda7f911f0e196d2796caf93a29e8)
la première des équations (G’) prendra donc cette forme
![{\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}+{\frac {dm}{dt}}=-{\frac {3{\rm {L}}}{r_{\text{ı}}^{3}}}{\rm {\frac {B-A}{C}}}\sin 2u+{\frac {3{\rm {L}}}{r_{\text{ı}}^{3}}}{\rm {\frac {B-A}{C}}}{\rm {H}}\cos 2u\sin \Pi +\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c5fb1fbf780bb00f4f8281f1a7c82fd04cd8f9d)
Les observations nous ayant fait connaître que le moyen mouvement de rotation de la Lune est égal à son moyen mouvement de révolution autour de la Terre, l’angle
est toujours fort petit, en sorte que l’on peut supposer
et
; on a d’ailleurs, à fort peu près,
on aura donc
![{\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}+3m^{2}{\rm {\frac {B-A}{C}}}u=-{\frac {dm}{dt}}+3m^{2}{\rm {\frac {B-A}{C}}}{\rm {H}}\sin \Pi +\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67030147af1e74206529492a27b55ee177be2740)
La valeur de
dépend de l’équation séculaire de la Lune, et nous verrons dans la théorie de la Lune que, si
est le moyen mouvement sidéral du Soleil, et
l’excentricité de son orbite, on a
![{\displaystyle -{\frac {dm}{dt}}={\frac {3m^{'2}e'de'}{mdt}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79573c2a18ef0ddc5f6294d9dcd48b1b79683170)
on aura donc à très-peu près, en intégrant l’équation précédente et en négligeant la quantité ![{\displaystyle {\frac {m^{'2}d^{2}(e'de')}{m^{5}dt^{3}{\rm {\frac {B-A}{C}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b067d3fd342ea9840762c907b12eaed6f429e57)
![{\displaystyle u={\rm {Q}}\sin \left(mt{\sqrt {3{\rm {\frac {B-A}{C}}}}}+{\rm {F}}\right)+{\frac {m^{'2}e'{\frac {de'}{dt}}}{m^{3}{\rm {\frac {B-A}{C}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bfe3c432d3bcc2b05a46be1d9cefff15b5efa41)
![{\displaystyle -3m^{2}{\rm {\frac {B-A}{C}}}{\frac {{\rm {H}}\sin \Pi }{\left({\frac {d\Pi }{dt}}\right)^{2}-3m^{2}{\rm {\frac {B-A}{C}}}}}-\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be380a8871489c7b41b5e7b2c09860ad6155cb4f)