d’où l’on tire
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}-p{\frac {ds'}{dt}}-s'{\frac {dp}{dt}}&={\frac {dr}{dt}},\\{\frac {d^{2}s'}{dt^{2}}}+p{\frac {ds}{dt}}+s{\frac {dp}{dt}}&=-{\frac {dq}{dt}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50471f70fde6643b821a55aa70942815127bd3e2)
En substituant ces valeurs de
et de
dans les deux dernières des équations (G’), et observant que l’on peut supposer
dans les produits de
et de sa différentielle par les variables très-petites
et par leurs différences, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}s'}{dt^{2}}}+m{\frac {ds}{dt}}=&{\rm {\frac {C-B}{A}}}mr+{\frac {3{\rm {L}}}{r_{\text{ı}}^{5}}}{\rm {\frac {B-C}{A}}}\\&\qquad \qquad \times \left[\left(Y^{2}\theta +YZ\right)\cos \varphi -\left(XY\theta +XZ\right)\sin \varphi \right],\\{\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}-m{\frac {ds'}{dt}}=&{\rm {\frac {C-A}{B}}}mq+{\frac {3{\rm {L}}}{r_{\text{ı}}^{5}}}{\rm {\frac {A-C}{B}}}\\&\qquad \qquad \times \left[\left(XY\theta +XZ\right)\cos \varphi +\left(Y^{2}\theta +YZ\right)\sin \varphi \right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ce007c49b0c2dfe2ae56d5fc309cacd40916e7b)
Maintenant on a
![{\displaystyle r={\frac {ds}{dt}}-ms',\qquad q=-{\frac {ds'}{dt}}-ms\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/323fa6aaaee527ee97389e55654c29200763d756)
on a ensuite
![{\displaystyle X=r_{\text{ı}}\cos v\,;\qquad Y=r_{\text{ı}}\sin v\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/489bb6706092e85e80dd27fa3c06b1056b8c3679)
de plus,
est toujours, par ce qui précède, un très-petit angle, de manière que l’on peut négliger son produit par les quantités
et
; les équations différentielles précédentes deviendront ainsi, en y substituant
au lieu de ![{\displaystyle {\frac {\rm {L}}{r_{\text{ı}}^{3}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b0c4ea9ac9154556af79c4a2ca339f8dc99550a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d^{2}s'}{dt^{2}}}+{\rm {\frac {A+B-C}{A}}}m{\frac {ds}{dt}}-m^{2}{\rm {{\frac {B-C}{A}}s'=0,}}\\&{\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}-{\rm {\frac {A+B-C}{B}}}m{\frac {ds'}{dt}}-4m^{2}{\rm {\frac {A-C}{B}}}s=3m^{2}{\rm {\frac {A-C}{B}}}{\frac {\rm {Z}}{r_{\text{ı}}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8416291aea5ee54ae5f99433d1509adc92ab0ac8)
est la latitude de la Terre vue de la Lune, au-dessus du plan fixe, latitude qui est égale et de signe contraire à celle de la Lune vue de la Terre ; on aura donc, par le no 5,
![{\displaystyle {\frac {\rm {Z}}{r_{\text{ı}}}}=c'\sin(mt+g't+{\text{ϐ}}')+\Sigma c\sin(mt-gt-{\text{ϐ}}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a85d0ae6187fdb038148a0522ac536d970f6f12)