et par conséquent,
![{\displaystyle \varphi -\psi =pt+{\rm {I,}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13247eb2b45182df6dad520cb6151b4f5b54625c)
étant une arbitraire ; les équations différentielles en
et
donneront ainsi, en les intégrant,
![{\displaystyle {\begin{aligned}s&={\rm {M}}\sin(\varepsilon t+{\rm {E}})-{\frac {{\frac {3{\rm {L}}}{2r^{''3}}}\sin \theta '\cos \theta '}{\varepsilon ^{2}-p^{2}}}\sin(\varphi -\psi ),\\\\s'&={\rm {M'}}\cos(\varepsilon t+{\rm {E'}})-{\frac {{\frac {3{\rm {L}}}{2r^{''3}}}\sin \theta '\cos \theta '}{\varepsilon ^{2}-p^{2}}}\cos(\varphi -\psi ),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf1b0db7a06b1047aebff872e365fbca959c5cdd)
étant quatre arbitraires. L’inclinaison du plan de l’anneau à celui de l’équateur de Saturne est égale à
il faut donc, pour que cette inclinaison reste toujours très-petite, que
et
soient très-petits et que le coefficient
soit peu considérable ; or cela n’aurait pas lieu si Saturne était parfaitement sphérique, car alors on aurait
![{\displaystyle \varepsilon ^{2}-p^{2}={\frac {3{\rm {L}}}{2r^{''3}}}\left(\cos ^{2}\theta '-{\frac {1}{2}}\sin ^{2}\theta '\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9de2f99d7a5845363526c1db07ca8338736e9bf9)
et le coefficient précédent deviendrait
il serait par conséquent très-sensible.
Si Saturne est aplati en vertu d’un mouvement de rotation, ce coefficient devient
![{\displaystyle {\frac {{\frac {3{\rm {L}}}{2r^{''3}}}\sin \theta '\cos \theta '}{{\frac {2\alpha \left(h-{\frac {1}{2}}\varphi '\right)}{r_{\text{ı}}^{'5}}}+{\frac {3{\rm {L}}}{2r^{''3}}}\left(\cos ^{2}\theta '-{\frac {1}{2}}\sin ^{2}\theta '\right)}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d06316ff0e5317842480c0bbf526a53e9042c81)
supposons que
soit le Soleil, et que
soit la distance du centre de Saturne à son dernier satellite ; nommons
la durée d’une révolution sidérale de Saturne, et
celle d’une révolution sidérale de son dernier satellite ; la masse de Saturne étant prise pour unité, on a, par le no 25 du Livre II,
![{\displaystyle {\frac {\rm {L}}{r^{''3}}}={\frac {1}{r_{\text{ı}}^{3}}}\left({\frac {T'}{T}}\right)^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/921f1052606d83ead766e262dfd7fafaea0689b2)