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manière ; on aura donc généralement, en comparant les fonctions semblables,

${\rm {U}}^{(i)}={\frac {4\alpha \pi }{2i+1}}a^{i+3}{\rm {Y}}^{(i)},$

d’où l’on tire, quel que soit $r,$

(3)

${\rm {V}}={\frac {4\pi a^{3}}{3r}}+{\frac {4\alpha \pi a^{3}}{r}}+\left({\rm {Y}}^{(0)}+{\frac {a}{3r}}{\rm {Y}}^{(1)}+{\frac {a^{2}}{5r^{2}}}{\rm {Y}}^{(2)}+{\frac {a^{3}}{7r^{3}}}{\rm {Y}}^{(3)}+\ldots \right).$

Il ne s’agit donc plus, pour avoir ${\rm {V}}$, que de réduire $y$ sous la forme que nous venons de lui supposer ; nous donnerons dans la suite une méthode fort simple pour cet objet.

Si l’on avait $y={\rm {Y}}^{(i)},$ la partie de ${\rm {V}}$ relative à l’excès du sphéroïde sur la sphère dont le rayon est $a,$ ou, ce qui revient au même, relative à une couche sphérique dont le rayon est $a$ et l’épaisseur $\alpha ay,$ serait ${\frac {4\alpha \pi a^{i+3}{\rm {Y}}^{(i)}}{(2i+1)r^{i+1}}}\,;$ cette valeur serait, par conséquent, proportionnelle à $y,$ et il est visible que ce n’est que dans ce cas que cette proportionnalité peut avoir lieu.

12. On peut simplifier l’expression ${\rm {Y}}^{(0)}+{\rm {Y}}^{(1)}+{\rm {Y}}^{(2)}+\ldots$ de $y,$ et en faire disparaître les deux premiers termes, en prenant pour $a$ le rayon d’une sphère égale en solidité au sphéroïde, et en fixant l’origine arbitraire de $r$ au centre de gravité du sphéroïde. Pour le faire voir, nous observerons que la masse ${\rm {M}}$ du sphéroïde, supposé homogène et d’une densité représentée par l’unité, est, par le n^o 8, égale à $\iiint {\rm {R}}^{2}d{\rm {R}}d\mu d\varpi ,$ ou à ${\frac {1}{3}}\iint {\rm {R}}'^{3}d\mu d\varpi ,\ {\rm {R}}'$ étant le rayon ${\rm {R}}$ prolongé jusqu’à la surface du sphéroïde. En substituant pour ${\rm {R'}}$ sa valeur $a(1+\alpha y),$ on aura

${\rm {M}}={\frac {4\pi a^{3}}{3}}+\alpha a^{3}\iint yd\mu d\varpi .$

Il ne s’agit donc que de substituer pour $y$ sa valeur ${\rm {Y}}^{(0)}+{\rm {Y}}^{(1)}+\ldots$ et d’effectuer ensuite les intégrations. Voici pour cet objet un théorème général et fort utile dans cette analyse :