Relativement à un point placé à l’extérieur du sphéroïde, on a, par le no 9,
![{\displaystyle {\rm {V}}={\frac {{\rm {U}}^{(0)}}{r}}+{\frac {{\rm {U}}^{(1)}}{r^{2}}}+{\frac {{\rm {U}}^{(2)}}{r^{3}}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/446b5bae207adc5674887dcec1119b2a6aa66f3b)
si l’on suppose cette valeur de
relative à une couche dont le rayon intérieur est
et dont le rayon extérieur est
on aura
![{\displaystyle {\rm {U}}^{(i)}=\alpha a^{i+3}\iint y'd\varpi 'd\theta '\sin \theta '.{\rm {Q}}^{(i)}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8ed4f4355b03344ffa58f788e8f74334047a1cf)
partant
![{\displaystyle v^{(i)}={\frac {{\rm {U}}^{(i)}}{a^{2i+1}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7333fcd7b637bf293af18c016380ca668ed50096)
![{\displaystyle \alpha a^{i+3}\iint y'd\varpi 'd\theta '\sin \theta '.{\rm {Q}}^{(i)}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8e79ea094a34c441d3147f7281d3f2f7f08e9a0)
On a, par le no 11,
![{\displaystyle {\rm {U}}^{(i)}={\frac {4\alpha \pi a^{i+3}{\rm {Y}}^{(i)}}{2i+1}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2b7af166e2bc3cea13e572f139e988ee1aa0c0d)
donc
![{\displaystyle v^{(i)}={\frac {4\alpha \pi {\rm {Y}}^{(i)}}{(2i+1)a^{i-2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/050af8694573c7b20201f54c259287657c9fb43e)
ce qui donne
![{\displaystyle {\rm {V}}=4\alpha \pi a^{2}\left({\rm {Y}}^{(0)}+{\frac {r}{3a}}{\rm {Y}}^{(1)}+{\frac {r^{2}}{5a^{2}}}{\rm {Y}}^{(2)}+\ldots \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9882426e35e36a17b9f2fc6b635fb64a00aac48)
Il faut ajouter à cette valeur de
celle qui est relative à la couche sphérique de l’épaisseur
qui enveloppe le point attiré, plus celle qui est relative à la sphère du rayon
et qui est au-dessous du même point. Si l’on fait
on aura, par rapport à la première de ces deux parties de
,
![{\displaystyle v^{(i)}=\iiint {\frac {d{\rm {R}}d\varpi 'd\mu '.{\rm {Q}}^{(i)}}{{\rm {R}}^{i-1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed366a2248838f208d7f68e1720305165fe62f26)
l’intégrale relative à
devant être prise depuis
jusqu’à
En intégrant par rapport à
depuis
jusqu’à
on aura
![{\displaystyle v^{(i)}={\frac {1}{2-i}}\left({\frac {1}{a^{i-2}}}-{\frac {1}{r^{i-2}}}\right)\iint d\varpi 'd\mu '.{\rm {Q}}^{(i)}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9c6115c381826a48fa7fd58d1cf37594755b127)
or on a généralement, par le théorème du numéro précédent,
lorsque
est égal ou plus grand que l’unité ; lorsque