d’où l’on tire, en faisant successivement
les valeurs de
et par conséquent
ϐ
![{\displaystyle ={\rm {A\left(1-\mu ^{2}\right)^{\frac {n}{2}}\times }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b060a590fc0198d3e655039cf591a679441f5c9)
![{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}\mu ^{i-n}&-{\frac {(i-n)(i-n-1)}{2.(2i-1)}}\mu ^{i-n-2}+{\frac {(i-n)(i-n-1)(i-n-2)(i-n-3)}{2.4.(2i-1)(2i-3)}}\mu ^{i-n-4}\\\\&-{\frac {(i-n)(i-n-1)(i-n-2)(i-n-3)(i-n-4)(i-n-5)}{2.4.6.(2i-1)(2i-3)(2i-5)}}\mu ^{i-n-6}+\ldots \end{aligned}}\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2668e52be4cf375cce419baeef1b79cc69f042b9)
est une fonction de
indépendante de
; or,
et
entrant de la même manière dans le radical précédent, ils doivent entrer de la même manière dans l’expression de ϐ ; on a donc
![{\displaystyle {\rm {A}}=\gamma \left(1-\mu '^{2}\right)^{\frac {n}{2}}\left[\mu '^{i-n}-{\frac {(i-n)(i-n-1)}{2.(2i-1)}}\mu '^{i-n-2}+\ldots \right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f6654bfaa533561e850008ca525d0553310edc1)
étant un coefficient indépendant de
et de
; partant,
![{\displaystyle {\text{ϐ}}=\gamma \left(1-\mu '^{2}\right)^{\frac {n}{2}}\left[\mu '^{i-n}-{\frac {(i-n)(i-n-1)}{2.(2i-1)}}\mu '^{i-n-2}+\ldots \right]\times }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98850f3d298a87e5641a109cb228d249b1ea6af6)
![{\displaystyle \left(1-\mu ^{2}\right)^{\frac {n}{2}}\left[\mu ^{i-n}-{\frac {(i-n)(i-n-1)}{2.(2i-1)}}\mu ^{i-n-2}+\ldots \right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2acab64a7824c7db72794a07957df168ae6c082c)
On voit ainsi que ϐ se partage en trois facteurs, le premier indépendant de
et de
le second fonction de
seul, et le troisième fonction semblable en
Il ne s’agit plus que de déterminer ![{\displaystyle \gamma .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f423d4c0d1a3f651562797e2198c75a3f65e09fe)
Pour cela, nous observerons que, si
est pair, on a, en supposant
ϐ
![{\displaystyle ={\frac {\gamma \left[1.2.3\ldots (i-n)\right]^{2}}{\left[2.4\ldots (i-n).(2i-1)(2i-3)\ldots (i+n+1)\right]^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7aa8a686efd1228f8de8439ae179d2c0e4283b23)
![{\displaystyle ={\frac {\gamma \left[1.3.5\ldots (i-n-1).1.3.5\ldots (i+n-1)\right]^{2}}{\left[1.3.5\ldots (2i-1)\right]^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1981f4601907d13f10f514223ce3291e932f20c)
Si
est impair, on aura, en ne conservant que la première puissance de
et de
ϐ
![{\displaystyle ={\frac {\gamma \mu \mu '.\left[1.2.3\ldots (i-n)\right]^{2}}{\left[2.4\ldots (i-n-1).(2i-1)(2i-3)\ldots (i+n+2)\right]^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e1e55c45b5fb4a311870722ff2195fd3a13aca6)
![{\displaystyle ={\frac {\gamma \mu \mu '.\left[1.3.5\ldots (i-n).1.3.5\ldots (i+n)\right]^{2}}{\left[1.3.5\ldots (2i-1)\right]^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdd3bb0299044dcdb15597803a2548a510d8400f)
Le radical précédent devient, en négligeant les carrés de
et de
,
![{\displaystyle (f)\quad \left[r^{2}-2{\rm {R}}r\cos(\varpi -\varpi ')+{\rm {R}}^{2}\right]^{-{\frac {1}{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ba7aaabf8dbb1b4a4277cb8667bf69b2e67eb27)
![{\displaystyle +Rr\mu \mu '\left[r^{2}-2{\rm {R}}r\cos(\varpi -\varpi ')+{\rm {R}}^{2}\right]^{-{\frac {3}{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1ab4cce946a78dacf86bc6ec9e6511904e2c7de)
si l’on substitue, au lieu de
sa valeur en exponentielles