ainsi la partie de l’intégrale
dépendante de l’angle
sera
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\gamma \lambda \sin n\varpi .\iint \lambda '^{2}d\mu 'd\varpi '\sin n\varpi '\left({\rm {A}}^{(n)}\sin n\varpi '+{\rm {B}}^{(n)}\cos n\varpi '\right)\\\\+&\gamma \lambda \cos n\varpi .\iint \lambda '^{2}d\mu 'd\varpi '\cos n\varpi '\left({\rm {A}}^{(n)}\sin n\varpi '+{\rm {B}}^{(n)}\cos n\varpi '\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5da256dee941ebad73f5e32ce7c487eaa51383b)
En exécutant les intégrations relatives à
cette partie devient
![{\displaystyle \gamma \lambda \pi \left({\rm {A}}^{(n)}\sin n\varpi +{\rm {B}}^{(n)}\cos n\varpi \right)\int \lambda '^{2}d\mu '\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/806f0e493a4c2cdd9ebafda5eec336a64b2b8916)
mais, en vertu de l’équation (1), cette même partie est égale à
![{\displaystyle {\frac {4\pi }{2i+1}}\lambda \left({\rm {A}}^{(n)}\sin n\varpi +{\rm {B}}^{(n)}\cos n\varpi \right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db2c0f7d7464817486b55ae3b8d56f1ebce4125d)
on a donc
![{\displaystyle \int \lambda '^{2}d\mu '={\frac {4}{(2i+1)\gamma }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7237281a4857466af690f5af0c11d9c98393550f)
Représentons maintenant par
la partie de
dépendante de l’angle
Cette partie doit seule être combinée avec la partie correspondante de
parce que les termes dépendants des sinus et cosinus de l’angle
et de ses multiples disparaissent par l’intégration dans la fonction
intégrée depuis
jusqu’à
; on aura ainsi, en n’ayant égard qu’à la partie de
dépendante de l’angle ![{\displaystyle n\varpi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73a0a15ed51502edb04d427c365acafe41eedf7a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\iint {\rm {Y}}^{(i)}{\rm {Z}}^{(i)}d\mu d\varpi &=\iint \lambda ^{2}d\mu d\varpi \left({\rm {A}}^{(n)}\sin n\varpi +{\rm {B}}^{(n)}\cos n\varpi \right)\times \\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left({\rm {A'}}^{(n)}\sin n\varpi +{\rm {B'}}^{(n)}\cos n\varpi \right)\\\\&=\pi \left({\rm {A}}^{(n)}{\rm {A'}}^{(n)}+{\rm {B}}^{(n)}{\rm {B'}}^{(n)}\right)\int \lambda ^{2}d\mu \\&={\frac {4\pi }{(2i+1)\gamma }}\left({\rm {A}}^{(n)}{\rm {A'}}^{(n)}+{\rm {B}}^{(n)}{\rm {B'}}^{(n)}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdf9a6288f84bac30dc11237e575fdbb115a3822)
En supposant donc successivement, dans le dernier membre, ![{\displaystyle n=0,\ n=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/147fc178645fe30e698fcdc86261b6e0a9857a21)
la somme de tous ces termes sera la valeur de l’intégrale ![{\displaystyle \iint {\rm {Y}}^{(i)}{\rm {Z}}^{(i)}d\mu d\varpi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc984da734699fcd69160cb97c9bfd68b072c789)
Si le sphéroïde est de révolution, en sorte que l’axe avec lequel le rayon
forme l’angle
soit l’axe même de révolution, l’angle
disparaîtra de l’expression de
qui devient alors de cette forme
![{\displaystyle {\frac {1.3.5\ldots (2i-1)}{1.2.3\ldots i}}{\rm {A}}^{(i)}\times }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85636d49d268e2e270bccf8209db0df4a8eacf51)
![{\displaystyle \left(\mu ^{(i)}-{\frac {i(i-1)}{2.(2i-1)}}\mu ^{(i-2)}+{\frac {i(i-1)(i-2)(i-2)}{2.4.(2i-1)(2i-3)}}\mu ^{(i-4)}-\ldots \right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b4c99b6b793e8dd13c8054f80eace3dd0599d8c)