l’autre partie de cette manière. Supposons, pour simplifier, le sphéroïde tel, qu’il soit partagé en deux parties égales et semblables soit par l’équateur, soit par le méridien où l’on fixe l’origine de l’angle
soit par le méridien qui lui est perpendiculaire. Alors
sera fonction de
et
ou, ce qui revient au même, il sera fonction de
et des cosinus de l’angle
et de ses multiples ;
sera donc nul lorsque
est impair, et, dans le cas où il est pair, le terme dépendant de l’angle
sera de la forme
![{\displaystyle {\rm {C}}^{(i)}\left(1-\mu ^{2}\right)^{n}\left(\mu ^{i-2n}-{\frac {(i-2n)(i-2n-1)}{2.(2i-1)}}\mu ^{i-2n-2}+\ldots \right)\cos 2n\varpi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce0ac99ae818dfb332e6b1486f2559e5e8f2d4c8)
Relativement à un point attiré, situé dans le plan de l’équateur où
la partie de
dépendante de ce terme devient
![{\displaystyle \pm {\frac {{\rm {C}}^{(i)}}{r^{i+1}}}{\frac {1.3.5\ldots (i-2n-1)}{(i+2n+1)(i+2n+3)\ldots (2i-1)}}\cos 2n\varpi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1b6975780bf8e838f2d6535ec5456cc3a6c1aa5)
d’où il suit qu’ayant développé
dans une série ordonnée par rapport aux cosinus de l’angle
et de ses multiples, lorsque le point attiré est situé dans le plan de l’équateur, il suffira, pour étendre cette valeur à un point quelconque attiré, de multiplier les termes dépendants de
par la fonction
![{\displaystyle \pm {\frac {(i+2n+1)\ldots (2i-1)}{1.3.5\ldots (i-2n-1)}}\left(1-\mu ^{2}\right)^{n}\times }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffa8f1d44dd9f2876dcd91688d91568f2906ece3)
![{\displaystyle \left(\mu ^{i-2n}-{\frac {(i-2n)(i-2n-1)}{2.(2i-1)}}\mu ^{i-2n-2}+\ldots \right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/502dfaea657e6c04ea91e8eec4add27e52d1f60e)
on aura donc ainsi la valeur entière de
, lorsque cette valeur sera déterminée en série pour les deux cas où le point attiré est situé sur le prolongement de l’axe du pôle et où il est situé dans le plan de l’équateur, ce qui simplifie beaucoup la recherche de cette valeur.
Le sphéroïde que nous venons de considérer comprend l’ellipsoïde. Relativement à un point attiré situé sur l’axe du pôle, que nous supposerons être l’axe des
on a, par le no 2,
et alors l’expression de
du no 5 est intégrale par rapport à
Relativement à un point situé dans le plan de l’équateur, on a
et la même expres-