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résultante de son attraction et de la force centrifuge soit perpendiculaire à la surface.

Nous avons supposé jusqu’ici $\lambda ^{2}$ positif, ce qui donne des sphéroïdes aplatis vers les pôles ; examinons présentement si l’équilibre peut subsister avec une figure allongée vers les pôles. Soit alors $\lambda ^{2}=-\lambda '^{2}\,;\ \lambda '^{2}$ doit être positif et moindre que l’unité ; autrement, l’ellipsoïde se changerait en hyperboloïde. La valeur précédente de $d\varphi$ donne

$\varphi =6\int {\frac {\lambda ^{2}d\lambda \left[q\lambda ^{4}+(10q-6)\lambda ^{2}+9q\right]}{\left(1+\lambda ^{2}\right)\left(9+3\lambda ^{2}\right)^{2}}},$

l’intégrale étant prise depuis $\lambda =0.$ En substituant au lieu de $\lambda$ sa valeur $\pm \lambda '{\sqrt {-1}},$ on aura

$\varphi =\pm 6{\sqrt {-1}}\int {\frac {\lambda '^{2}d\lambda '\left[q\left(1-\lambda '^{2}\right)\left(9-\lambda '^{2}\right)+6\lambda '^{2}\right]}{\left(1-\lambda '^{2}\right)\left(9-3\lambda '^{2}\right)^{2}}}\,;$

or il est clair que les éléments de cette dernière intégrale sont tous de même signe, depuis $\lambda '^{2}=0$ jusqu’à $\lambda '^{2}=1\,;$ la fonction $\varphi$ ne peut donc jamais devenir nulle dans cet intervalle ; ainsi l’équilibre ne peut subsister avec une figure allongée vers les pôles.

21. Si le mouvement de rotation primitivement imprimé à une masse fluide est plus rapide que celui qui convient à la limite de $q,$ il ne faut pas en conclure qu’elle ne peut pas être en équilibre avec une figure elliptique ; car on conçoit qu’en s’aplatissant de plus en plus, elle prendra un mouvement de rotation de moins en moins rapide ; en supposant donc qu’il existe, comme dans tous les fluides connus, une force de ténacité entre ses molécules, cette masse, après un grand nombre d’oscillations, pourra enfin parvenir à un mouvement de rotation compris dans les limites de l’équilibre, et se fixer à cet état. Mais cette possibilité n’est encore qu’un aperçu qu’il est intéressant de vérifier ; il est également intéressant de savoir s’il y a plusieurs états possibles d’équilibre ; car ce que nous venons de démontrer sur la possibilité des deux états d’équilibre, correspondants à un même mouvement de ro-