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Les deux cas précédents se réduisent à un seul, lorsque le sphéroïde est homogène ; car il est indifférent pour l’équilibre qu’il soit entièrement fluide ou qu’il renferme un noyau intérieur solide. Il suffit, par le n^o 12, que l’on ait, à la surface extérieure,

const.$={\rm {V}}+\alpha r^{2}\left({\rm {Z}}^{(0)}+{\rm {Z}}^{(2)}+r{\rm {Z}}^{(3)}+r^{2}{\rm {Z}}^{(4)}+\ldots \right).$

Si l’on substitue dans cette équation, au lieu de ${\rm {V}}$, sa valeur donnée par la formule (3) du n^o 11, et si l’on observe que, par le n^o 12, ${\rm {Y}}^{(0)}$ disparaît en prenant pour $a$ le rayon d’une sphère de même volume que le sphéroïde, et que ${\rm {Y}}^{(1)}$ est nul lorsque l’on fixe l’origine des coordonnées au centre de gravité du sphéroïde, on aura

const.$={\frac {4\pi a^{3}}{3r}}+{\frac {4\pi \alpha a^{5}}{r^{3}}}\left({\frac {1}{5}}{\rm {Y}}^{(2)}+{\frac {a}{7r}}{\rm {Y}}^{(3)}+{\frac {a^{2}}{9r^{2}}}{\rm {Y}}^{(4)}+\ldots \right)$

$+\alpha r^{2}\left({\rm {Z}}^{(0)}+{\rm {Z}}^{(2)}+r{\rm {Z}}^{(3)}+r^{2}{\rm {Z}}^{(4)}+\ldots \right).$

C’est l’équation de la surface du sphéroïde, en y substituant, au lieu de $r,$ sa valeur à la surface, $a(1+\alpha y)$ ou

$a+\alpha a\left({\rm {Y}}^{(2)}+{\rm {Y}}^{(3)}+{\rm {Y}}^{(4)}+\ldots \right),$

ce qui donne

const.$={\frac {4\pi }{3}}a^{2}-{\frac {8\alpha \pi a^{2}}{3}}\left({\frac {1}{5}}{\rm {Y}}^{(2)}+{\frac {2}{7}}{\rm {Y}}^{(3)}+{\frac {3}{9}}{\rm {Y}}^{(4)}+\ldots \right)$

$+\alpha a^{2}\left({\rm {Z}}^{(0)}+{\rm {Z}}^{(2)}+a{\rm {Z}}^{(3)}+a^{2}{\rm {Z}}^{(4)}+\ldots \right).$

On déterminera la constante arbitraire du premier membre de cette équation au moyen de celle-ci

const.$={\frac {4}{3}}\pi a^{2}+\alpha a^{2}{\rm {Z}}^{(0)}\,;$

on aura ensuite, en comparant les fonctions semblables, c’est-à-dire assujetties à la même équation aux différences partielles,

${\rm {Y}}^{(i)}={\frac {3(2i+1)}{8(i-1)\pi }}a^{i-2}{\rm {Z}}^{(i)},$

$i$ étant plus grand que l’unité. Cçtte équation peut être mise sous la forme

${\rm {Y}}^{(i)}={\frac {3}{4\pi }}a^{i-2}{\rm {Z}}^{(i)}+{\frac {9}{8a\pi }}\int r^{i-2}dr.{\rm {Z}}^{(i)},$