Pour cela, nous observerons que, si l’on nomme
la valeur de
relative à ce point de sortie, et
le rayon correspondant du sphéroïde,
étant une pareille fonction de
ou de
que
l’est de
il est facile de voir que le cosinus de l’angle formé par les deux droites
et
est égal à
et qu’ainsi, dans le triangle formé par les trois droites
et
on a
![{\displaystyle a^{2}(1+\alpha y')^{2}=f'^{2}-2af'(1+\alpha y)\sin p\cos q+a^{2}(1+\alpha y)^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31fcc61b6656ce3788f1548bc6f51ca537cfa73c)
Cette équation donne pour
deux valeurs ; mais, l’une d’elles étant de l’ordre
elle est nulle lorsque l’on néglige les quantités de cet ordre. L’autre devient
![{\displaystyle f'^{2}=4a^{2}\sin ^{2}p\cos ^{2}q(1+2\alpha y)+4\alpha a^{2}(y'-y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4439b56b1b166536abb94bcc9d6f65f224601288)
ce qui donne
![{\displaystyle {\rm {V}}=2a^{2}\iint dpdq\sin p\left[(1+2\alpha y)\sin ^{2}p\cos ^{2}q+\alpha (y'-y)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da1858bd16ea65fc36b2b4304912e1345db32d5f)
Il est visible que les intégrales doivent être prises depuis
jusqu’à
et depuis
jusqu’à
on aura ainsi
![{\displaystyle {\rm {V}}={\frac {4}{3}}\pi a^{2}-{\frac {4}{3}}\alpha \pi a^{2}y+2\alpha a^{2}\iint dpdq.y'\sin p.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d68667c1a07ff42e99bfcfb407ae20a67977a97)
étant fonction de
il faut déterminer ce cosinus en fonction de
et de
; on pourra, dans cette détermination, négliger les quantités de l’ordre
puisque
est déjà multiplié par
; cela posé, on trouvera facilement
![{\displaystyle a\cos \theta '=(a-f'\sin p\cos q)\cos \theta +f'\sin p\sin q\sin \theta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed9b5eed7c9c8ae370ac1e48c07e8cdbc212b037)
d’où l’on tire, en substituant pour
sa valeur ![{\displaystyle 2a\sin p\cos q,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/924e0c0687d649490239eae581299162e95481d8)
![{\displaystyle \mu '=\mu \cos ^{2}p-\sin ^{2}p\cos(2q+\theta ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bb377698391f2779f44988cdfd2e575a450abec)
On doit observer ici, relativement à l’intégrale
prise par rapport à
depuis
jusqu’à
que le résultat serait le même si l’on prenait cette intégrale depuis
jusqu’à
parce que les valeurs de
, et par conséquent celles