5. Toute la difficulté se réduit donc à déterminer numériquement les altérations des éléments de l’orbite. Nous avons déjà observé que l’on ne peut y parvenir que par des quadratures mécaniques, et l’Analyse fournit pour cet objet divers moyens. Je vais exposer ici la formule qui me paraît la plus commode et la plus simple, et pour cela je vais rappeler en peu de mots le principe de la théorie àes fonctions génératrices.
Soit 
une fonction quelconque de 
et supposons qu’en la développant suivant les puissances de 
on ait
sera la fonction génératrice des divers coefficients 
Il est clair que, 
étant le coefficient de 
dans le développement de 
il sera le coefficient indépendant de dans le développement de 
or on a
(i)
![{\displaystyle =u\left[1+i\left({\frac {1}{t}}-1\right)+{\frac {i(i-1)}{1.2}}\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{2}+\ldots \right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a25ebd0a1d6e201e805d82939e02a6ae4cb1ffe4)
Le coefficient indépendant de dans 
est évidemment 
ou 
la caractéristique 
étant celle des différences finies. Il est visible encore que, en considérant 
comme une nouvelle fonction génératrice, son développement, en n’ayant point égard aux puissances négatives de sera
De là il suit que le coefficient indépendant de dans le développement de 
ou 
est 
ou 
En suivant le même raisonnement, on voit que le coefficient indépendant de dans le développement de 
est 
et ainsi de suite ; l’équation (i) donnera donc, en repassant des fonctions génératrices
