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l’orbite et du nœud, dues à la partie de ${\rm {R}}$ indépendante de ${\rm {R',}}$ dans la partie de l’orbite que l’on considère.

8. On aura les variations des éléments de l’orbite, relatives à la partie ${\rm {R'}}$ de ${\rm {R}}$, par les formules des n^o 3 et 4, en changeant ${\rm {R}}$ en ${\rm {R'}}$ dans les expressions de $dh,dl,d{\frac {1}{a}},dc',dc'',$ et en les intégrant par des quadratures. Dans la portion supérieure de l’orbite, ${\rm {R'}}$ étant fort petit, les valeurs de ces intégrales seront aussi très-petites ; mais dans cette portion, où il est avantageux de partager ainsi ${\rm {R}}$ en deux parties, on peut déterminer, sans quadratures et par des séries convergentes, les variations des éléments de l’orbite correspondantes à ${\rm {R'.}}$ Reprenons pour cela l’expression de ${\rm {R'}}$ du n^o 2. En la développant en série, on aura

${\rm {R}}'={\frac {m'r'^{2}}{2r^{3}}}-{\frac {3}{2}}m'{\frac {\left(xx'+yy'+zz'-{\frac {1}{2}}r'^{2}\right)^{2}}{r^{5}}}-{\frac {5}{2}}m'{\frac {\left(xx'+yy'+zz'-{\frac {1}{2}}r'^{2}\right)^{3}}{r^{7}}}-\ldots \,;$

or on a

$x=r\cos v,\qquad y=r\sin v,\qquad z=0,$

$r={\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{1+e\cos(v-\varpi )}}\,;$

on a ensuite $x',y',z'$ en fonction de sinus et de cosinus de $v'$ et de ses multiples. En substituant ${\rm {R'}}$ au lieu de ${\rm {R}}$ dans les expressions différentielles des éléments de l’orbite, en développant ces expressions et en observant que, par le n^o 16 du Livre II,

${\begin{aligned}r^{2}\ dv\ =&dt\ {\sqrt {a\left(1-e^{2}\right)}},\\r'^{2}dv'=&dt'{\sqrt {a'\left(1-e'^{2}\right)}},\end{aligned}}$

la partie de chacune de ces expressions différentielles correspondante à ${\rm {R'}}$ sera exprimée par une suite de termes de la forme

${\rm {H}}dv'\cos(iv+i'v'+\Lambda ),$

$i$ et $i'$ étant des nombres entiers positifs ou négatifs, et ${\rm {H}}$ et $\Lambda$ étant