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$\alpha ,$ que nous avons déterminées au moyen de la réfraction horizontale et des hauteurs observées du baromètre et du thermomètre. On pourrait, au lieu de la réfraction horizontale, employer les observations sur la diminution de la chaleur. Pour construire une Table de réfraction, il faudrait connaître ou cette diminution ou les réfractions horizontales relatives à ces hauteurs, ce qui exigerait une longue suite d’observations ; mais il en résulterait une Table beaucoup plus exacte que celle dont on fait usage. Cependant elle laisserait encore de l’incertitude, la loi de la nature sur les densités des couches de l’atmosphère n’étant pas exactement celle que nous avons supposée, et variant par mille causes inconnues. Par cette raison, les astronomes ne comptent que sur des positions observées à $11$ ou $12$ degrés au moins de hauteur apparente. Heureusement, à ces hauteurs, la réfraction devient indépendante de ces causes, et on peut l’obtenir avec beaucoup de précision, par la seule observation des hauteurs du baromètre et du thermomètre dans le lieu de l’observateur : c’est ce que nous allons développer.

Théorie des réfractions astronomiques correspondantes à des hauteurs apparentes plus grandes que 12. degrés.

8. Reprenons l’équation différentielle (4) du n^o 5. En réduisant le radical en série, elle devient

$d\theta ={\frac {-\alpha {\cfrac {d\rho }{(\rho )}}(1-s)\operatorname {tang} \Theta }{1-2\alpha \left[1-{\cfrac {\rho }{(\rho )}}\right]}}$

$\times \left\{{\begin{aligned}1&+{\frac {\alpha \left[1-{\cfrac {\rho }{(\rho )}}\right]}{\cos ^{2}\Theta }}-\left(s-{\frac {1}{2}}s^{2}\right)\operatorname {tang} ^{2}\Theta \\\\&+{\frac {3}{2}}\left\{{\frac {\alpha \left[1-{\cfrac {\rho }{(\rho )}}\right]}{\cos ^{2}\Theta }}-\left(s-{\frac {1}{2}}s^{2}\right)\operatorname {tang} ^{2}\Theta \right\}^{2}+\ldots \end{aligned}}\right\}$

Si l’on néglige les produits de trois dimensions de $\alpha$ et de $s,$ on aura

$d\theta =-\alpha {\frac {d\rho }{(\rho )}}\operatorname {tang} \Theta \left\{1-{\frac {s}{\cos ^{2}\Theta }}+\alpha \left[1-{\frac {\rho }{(\rho )}}\right]{\frac {2\cos ^{2}\Theta +1}{\cos ^{2}\Theta }}\right\}.$