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En intégrant, on a

${\frac {e}{1-e^{2}}}=aq,$

$q$ étant une constante arbitraire. En substituant pour $a$ cette valeur dans l’expression de $de$ on aura

$de=-2\mathrm {H} dv{\sqrt {qe}},$

ce qui donne

$e=\left(h-\mathrm {H} v{\sqrt {q}}\right)^{2},$

$h$ étant une arbitraire égale à la racine carrée de $e,$ lorsque $v=0.$

On a $a^{\frac {3}{2}}dv=dt\,;$ substituant pour $a$ et $dv$ leurs valeurs en $e$ et $de,$ on aura

$dt={\frac {-ede}{2\mathrm {H} q^{2}\left(1-e^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},$

d’où l’on tire, en intégrant,

$\varepsilon -t={\frac {1}{2\mathrm {H} q^{2}{\sqrt {1-e^{2}}}}},$

$\varepsilon$ étant une arbitraire. Substituant pour $e$ sa valeur en $v,$ on aura

$\varepsilon -t={\frac {1}{2\mathrm {H} q^{2}{\sqrt {1-(h-\mathrm {H} v{\sqrt {q}})^{4}}}}}.$

En réduisant en série et déterminant $\varepsilon$ de manière que $v$ commence avec le temps $t$, on aura à très-peu près

$v=nt+{\frac {3\mathrm {H} \left(1+e^{2}\right)}{2\left(1-e^{2}\right)^{\frac {3}{2}}{\sqrt {a}}}}n^{2}t^{2},$

$n,e$ et $a$ étant relatifs à l’origine du temps. Le second terme de l’expression de $v$ est l’équation séculaire de la planète, due à l’action de la lumière.

20. Déterminons maintenant l’inégalité séculaire correspondante de la Lune. Si l’on marque d’un trait, pour ce satellite, les quantités que