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Soit donc (fig. 3) le point le plus bas de la surface $\mathrm {AOB}$ de l’eau renfermée dans un tube. Nommons $z$ la coordonnée verticale $\mathrm {OM}$, $x$ et $y$ les deux coordonnées horizontales d’un point quelconque $\mathrm {N}$ de la

Fig. 3

surface. Soient $\mathrm {R}$ et $\mathrm {R} '$ le plus grand et le plus petit des rayons osculateurs de la surface à ce point.

$\mathrm {R}$ et $\mathrm {R} '$ seront les deux racines de l’équation

$\mathrm {R} ^{2}\left(rt-s^{2}\right)-\mathrm {R} {\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}\left[\left(1+q^{2}\right)r-2pqs+\left(1+p^{2}\right)t\right]$

$+\left(1+p^{2}+q^{2}\right)^{2}=0,$

équation dans laquelle

${\begin{alignedat}{3}p=&{\frac {\partial z}{\partial x}},&q=&{\frac {\partial z}{\partial y}},\\r=&{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}},&\qquad s=&{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x\partial y}},\qquad t={\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}}\end{alignedat}}$

On aura donc

${\frac {1}{\mathrm {R} }}+{\frac {1}{\mathrm {R} '}}={\frac {\left(1+q^{2}\right)r-2pqs+\left(1+p^{2}\right)t}{\left(1+p^{2}+q^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}.$

Cela posé, si l’on conçoit un canal quelconque infiniment étroit $\mathrm {NSO}$, on doit avoir, par la loi de l’équilibre du fluide renfermé dans ce canal,

$\mathrm {K} -{\frac {\mathrm {H} }{2}}\left({\frac {1}{\mathrm {R} }}+{\frac {1}{\mathrm {R} '}}\right)+gz=\mathrm {K} -{\frac {\mathrm {H} }{2}}\left({\frac {1}{b}}+{\frac {1}{b'}}\right),$

$b$ et $b'$ étant le plus grand et le plus petit des rayons osculateurs de la surface au point $\mathrm {O}$, et $g$ étant la pesanteur. En effet, l’action du fluide sur le canal au point $\mathrm {N}$ est, par ce qui précède, $\mathrm {K} -{\frac {\mathrm {H} }{2}}\left({\frac {1}{\mathrm {R} }}+{\frac {1}{\mathrm {R} '}}\right),$ et de plus, la hauteur du point $\mathrm {N}$ au-dessus du point $\mathrm {O}$ est $z.$ L’équation pré-