étant un coefficient très-petit de l’ordre des forces perturbatrices dont il dépend. En substituant ces valeurs dans l’équation différentielle précédente, et en ne conservant que les termes dépendants de
la comparaison de ces termes donnera, en négligeant le carré de ![{\displaystyle g,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81f2986cd965e404a1ee33ec84baee5c43da47fa)
![{\displaystyle 0=h\left({\rm {N}}^{2}+2ng-n^{2}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3974b44d41660f0bd4ba7e31c5e3c64fa740a197)
![{\displaystyle +\sum {\frac {m'n^{2}}{2}}h'\left(2aa'{\frac {\partial {\rm {A^{(1)}}}}{\partial a'}}+a^{2}a'{\frac {\partial ^{2}{\rm {A^{(1)}}}}{\partial a\partial a'}}+4a{\rm {A}}^{(1)}+2a^{2}{\frac {\partial {\rm {A^{(1)}}}}{\partial a}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72f5665258e07d0aa4617e0845329493ed3630a0)
En substituant pour
sa valeur donnée par le no 3, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}0=&h\left[{\frac {g}{n}}-{\frac {\rho -{\frac {1}{2}}\varphi }{a^{2}}}-{\frac {3}{4}}{\frac {\rm {M^{2}}}{n^{2}}}+{\frac {1}{2}}\sum m'\left(a^{2}{\frac {\partial {\rm {A^{(0)}}}}{\partial a}}+{\frac {1}{2}}a^{3}{\frac {\partial ^{2}{\rm {A^{(0)}}}}{\partial a^{2}}}\right)\right]\\\\&+{\frac {1}{2}}\sum m'h\left(2a{\rm {A}}^{(1)}+a^{2}{\frac {\partial {\rm {A^{(1)}}}}{\partial a}}+aa'{\frac {\partial {\rm {A^{(1)}}}}{\partial a'}}+{\frac {1}{2}}a^{2}a'{\frac {\partial ^{2}{\rm {A^{(1)}}}}{\partial a\partial a'}}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/075d3700fa8c254c1d5b55a17a0b97a1bfefbc51)
étant une fonction homogène en
et
de la dimension
on a, par la nature de ces fonctions,
![{\displaystyle a{\frac {\partial {\rm {A^{(1)}}}}{\partial a}}+a'{\frac {\partial {\rm {A^{(1)}}}}{\partial a'}}=-{\rm {A}}^{(1)}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6877d13d9c8af00838c1c8d89de401c96955dc22)
l’équation précédente devient ainsi
![{\displaystyle {\begin{aligned}0=&h\left[{\frac {g}{n}}-{\frac {\rho -{\frac {1}{2}}\varphi }{a^{2}}}-{\frac {3}{4}}{\frac {\rm {M^{2}}}{n^{2}}}+{\frac {1}{2}}\sum m'\left(a^{2}{\frac {\partial {\rm {A^{(0)}}}}{\partial a}}+{\frac {1}{2}}a^{3}{\frac {\partial ^{2}{\rm {A^{(0)}}}}{\partial a^{2}}}\right)\right]\\\\&+{\frac {1}{2}}\sum m'h\left(a{\rm {A}}^{(1)}-a^{2}{\frac {\partial {\rm {A^{(1)}}}}{\partial a}}-{\frac {1}{2}}a^{3}{\frac {\partial ^{2}{\rm {A^{(1)}}}}{\partial a^{2}}}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4de5c2945c4f63ec8dd1932961662cc6381e64c)
En faisant, comme dans le no 55 du Livre II,
![{\displaystyle {\begin{aligned}(0,\ 1)&=-{\frac {m'n}{2}}\left(a^{2}{\frac {\partial {\rm {A}}^{(0)}}{\partial a}}+{\frac {1}{2}}a^{3}{\frac {\partial ^{2}{\rm {A}}^{(0)}}{\partial a^{2}}}\right),\\\\{\begin{array}{|c|}\hline 0,\ 1\\\hline \end{array}}&={\frac {m'n}{2}}\left(a{\rm {A}}^{(1)}-a^{2}{\frac {\partial {\rm {A}}^{(1)}}{\partial a}}-{\frac {1}{2}}a^{3}{\frac {\partial ^{2}{\rm {A}}^{(1)}}{\partial a^{2}}}\right)\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4582987534c370188a3d0c75d7a2ab6647627ee1)
en désignant ensuite par
ce que deviennent
et
lorsque l’on y change successivement ce qui est relatif à
dans ce qui est relatif à
et
enfin, en désignant