L’analyse du no 68 du Livre II conduirait aux mêmes valeurs ; mais l’analyse précédente est un peu plus simple.
La partie elliptique de
est
par le no 22 du Livre II ; en la désignant par
on aura
![{\displaystyle \delta v=2e\cos \varpi \sin(nt+\varepsilon )-2e\sin \varpi \cos(nt+\varepsilon ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5e0a9364c48056cb1128b5fcf5e259aedce5cc3)
ce qui donne
![{\displaystyle {\begin{aligned}\delta v=&-2h\ \sin(nt+\varepsilon -gt\ \ -\Gamma \,\ )-2h_{1}\sin(nt+\varepsilon -g_{1}t-\Gamma _{1})\\&-2h_{2}\sin(nt+\varepsilon -g_{2}t-\Gamma _{2})-2h_{3}\sin(nt+\varepsilon -g_{3}t-\Gamma _{3}).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3eb9fb64b64136d32d43e07ac4684323a383b8fa)
On aura de la même manière
![{\displaystyle {\begin{aligned}\delta v'=&-2{\text{ϐ}}'h\ \cos(n't+\varepsilon '-gt\ \ -\Gamma \,\ )-2{\text{ϐ}}'_{1}h_{1}\cos(n't+\varepsilon '-g_{1}t-\Gamma _{1})\\&-2{\text{ϐ}}'_{2}h_{2}\cos(n't+\varepsilon '-g_{2}t-\Gamma _{2})-2{\text{ϐ}}'_{3}h_{3}\cos(n't+\varepsilon '-g_{3}t-\Gamma _{3}),\\\\\delta v''=&-2{\text{ϐ}}''h\ \cos(n''t+\varepsilon ''-gt\ \ -\Gamma \,\ )-2{\text{ϐ}}''_{1}h_{1}\cos(n''t+\varepsilon ''-g_{1}t-\Gamma _{1})\\&-2{\text{ϐ}}''_{2}h_{2}\cos(n''t+\varepsilon ''-g_{2}t-\Gamma _{2})-2{\text{ϐ}}''_{3}h_{3}\cos(n''t+\varepsilon ''-g_{3}t-\Gamma _{3}),\\\\\delta v'''=&-2{\text{ϐ}}'''h\ \cos(n'''t+\varepsilon '''-gt\ \ -\Gamma \,\ )-2{\text{ϐ}}'''_{1}h_{1}\cos(n'''t+\varepsilon '''-g_{1}t-\Gamma _{1})\\&-2{\text{ϐ}}'''_{2}h_{2}\cos(n'''t+\varepsilon '''-g_{2}t-\Gamma _{2})-2{\text{ϐ}}'''_{3}h_{3}\cos(n'''t+\varepsilon '''-g_{3}t-\Gamma _{3}),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b360297a09e2bcf4ddd576330d1c5d73615a7a10)
Tout se réduit donc à former et à résoudre les équations précédentes
Mais nous verrons dans la suite qu’elles sont incomplètes, et que les rapports qui existent entre les moyens mouvements des trois premiers satellites leur ajoutent de nouveaux termes très-sensibles, quoique dépendants des carrés et des produits des forces perturbatrices.
7. Les termes de la double intégrale
de l’expression de
du no 2, qui dépendent de l’angle
acquièrent par les intégrations le diviseur
et,
étant fort peu différent de
ce diviseur est très-petit et peut donner une valeur sensible à ces termes, quoique multipliés par les petites excentricités des orbites ; nous allons donc les déterminer.
Considérons le terme
de l’expression de
En y