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que $\mathrm {P}$, au lieu d’exprimer la pression comme dans l’état d’équilibre, exprime la quantité $k\rho ^{2}c^{2},$ qui ne représente la pression que dans l’état d’équilibre ; cela donne

${\frac {\partial ^{2}x}{\partial t^{2}}}=-{\frac {2\mathrm {P} }{\rho }}{\frac {\partial .\rho c}{\rho c\partial \mathrm {X} }}=-{\frac {2\mathrm {P} }{\rho }}(1-{\text{ϐ}})frac{\partial \rho }{\rho \partial \mathrm {X} },$

d’où l’on tire, en substituant pour ${\frac {d\rho }{\rho }}$ sa valeur,

${\frac {\partial ^{2}x}{\partial t^{2}}}={\frac {2\mathrm {P} }{(\rho )}}(1-{\text{ϐ}})frac{\partial ^{2}x}{\partial \mathrm {X} ^{2}},$

équation identique avec celle qui résulte de notre analyse.

Équations générales du mouvement des fluides élastiques.

8. On peut déduire de cette analyse les équations générales du mouvement des fluides élastiques. Si l’on considère une molécule $\mathrm {A}$ du fluide, son calorique $c$ sera repoussé par le calorique $c_{\text{ı}}$ des molécules qui forment l’élément $dxdydz$ du même fluide. En nommant $f$ la distance de cet élément à la molécule $\mathrm {A} \ \rho _{\text{ı}}$ la densité du même élément, et représentant par $\mathrm {H} \varphi (f)$ la loi de répulsion du calorique, l’action révulsive du calorique de l’élément sur le calorique de la molécule $\mathrm {A}$ sera

$\mathrm {H} \varphi (f)\rho _{\text{ı}}c_{\text{ı}}cdxdydz.$

En la multipliant par la variation $\delta f$ de sa direction, le produit sera

$\mathrm {H} \varphi (f)\rho _{\text{ı}}c_{\text{ı}}c\delta fdxdydz.$

Soient $\mathrm {X,Y,Z}$ les trois coordonnées orthogonales de la molécule $\mathrm {A}$, et $x,y,z$ celles de l’élément ; on aura

$f={\sqrt {(x-\mathrm {X} )^{2}+(y-\mathrm {Y} )^{2}+(z-\mathrm {Z} )^{2}}},$

ce qui donne

$\delta f=-{\frac {(x-\mathrm {X} )\delta \mathrm {X} +(y-\mathrm {Y} )\delta \mathrm {Y} +(z-\mathrm {Z} )\delta \mathrm {Z} }{f}}.$