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LIVRE XIV

de l’orbite lunaire. Cela posé, on aura, par le n^o 2,

${\begin{aligned}\mathrm {A} dq+(\mathrm {C-B} )prdt=&{\frac {3\mathrm {L} dt}{r_{1}^{'3}}}(\mathrm {C-B} )\sin(\upsilon -\varphi )(\theta \sin \upsilon +\gamma \sin \upsilon ),\\\mathrm {B} dq+(\mathrm {A-C} )pqdt=&{\frac {3\mathrm {L} dt}{r_{1}^{'3}}}(\mathrm {A-C} )\cos(\upsilon -\varphi )(\theta \sin \upsilon +\gamma \sin \upsilon ).\end{aligned}}$

$\mathrm {L}$ est ici la Terre, $\upsilon$ est sa longitude vue de la Lune et rapportée au nœud de l’orljite lunaire, en sorte que $\gamma \sin \upsilon$ est sa latitude vue pareillement de la Lune. Soient

$\theta \sin \varphi =s,\qquad \theta \cos \varphi =s'.$

On aura, par le n^o 2,

${\begin{aligned}p=&\quad {\frac {d\varphi }{dt}}-{\frac {d\psi }{dt}},\\\\q=&-{\frac {ds'}{dt}}-sp,\\\\r=&\quad {\frac {ds}{dt}}-s'p.\end{aligned}}$

Les équations différentielles précédentes relatives à $dq$ et $dr$ deviendront, en y substituant $m$ pour $p$ et en négligeant les différentielles $s{\frac {dp}{dt}}$ et $s'{\frac {dp}{dt}},$ ce que l’on peut faire ici,

${\begin{aligned}-&{\frac {d^{2}s'}{dt^{2}}}-\mathrm {\frac {A+B-C}{A}} m{\frac {ds}{dt}}-\mathrm {\frac {C-B}{A}} m^{2}s'\\\\&={\frac {3\mathrm {L} dt}{r_{1}^{'3}}}\mathrm {\frac {C-B}{A}} \sin(\upsilon -\varphi )\left[s'\sin(\upsilon -\varphi )+s\cos(\upsilon -\varphi )+\gamma \sin \upsilon \right],\\\\&{\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}-\mathrm {\frac {A+B-C}{B}} m{\frac {ds'}{dt}}+\mathrm {\frac {C-A}{B}} m^{2}s\\\\&={\frac {3\mathrm {L} dt}{r_{1}^{'3}}}\mathrm {\frac {A-C}{B}} \cos(\upsilon -\varphi )\left[s'\sin(\upsilon -\varphi )+s\cos(\upsilon -\varphi )+\gamma \sin \upsilon \right].\end{aligned}}$

$\upsilon -\varphi$ est, comme on le voit dans le Chapitre II du Livre V, un très-petit angle, en sorte qu’on peut le supposer nul et faire son cosinus égal à l’unité.

$\sin(\upsilon -\theta )$ contient à fort peu près, par le Chapitre II du Livre V, le