corps. En égalant ensuite les différences secondes des coordonnées, divisées par le carré de l’élément du temps supposé constant, à ces attractions ainsi décomposées, on aura les trois équations différentielles du second ordre qui déterminent le mouvement du corps. Chaque corps du système fournit trois équations semblables, en sorte que le nombre de ces équations est triple de celui des corps. Leurs intégrales complètes renferment donc six fois autant d’arbitraires qu’il y a de corps. Ces constantes sont déterminées par les coordonnées initiales de chaque corps et par ses vitesses initiales suivant ces coordonnées.
On a presque toujours besoin de rapporter les corps du système à un corps principal. Il suffit, pour cela, de retrancher les équations différentielles de son mouvement suivant chaque coordonnée des équations différentielles correspondantes du mouvement des autres corps, dont on aura ainsi les équations différentielles relatives à leurs mouvements autour du corps principal.
On n’a pu obtenir jusqu’ici que sept intégrales des équations différentielles du mouvement du système. Les trois premières sont finies et ne sont qu’une traduction du beau théorème de Newton sur le mouvement du centre de gravité d’un système de corps qui n’éprouvent point d’actions étrangères. Les quatre autres intégrales, données par les principes des aires et des forces vives, sont différentielles du premier ordre ; elles sont une généralisation de la loi des aires proportionnelles aux temps et de l’expression du carré de la vitesse, que Newton a trouvées dans le mouvement du système de deux corps. Le problème de ce mouvement est ainsi ramené à l’intégration d’équations différentielles du premier ordre, qu’il est facile ensuite d’intégrer par les quadratures. C’est ce que Newton a développé avec une grande élégance, sous une forme synthétique. Mais, dans le cas d’un plus grand nombre de corps, le problème présente d’extrêmes difficultés. Heureusement la constitution du système solaire apporte des simplifications considérables qui permettent de résoudre ce problème par des approximations convergentes.
Les planètes, comme nous l’avons déjà dit, se meuvent autour du
