C’est à fort peu près à ces trois pièces que se réduisent les travaux d’Euler sur la théorie des perturbations du mouvement des planètes. On n’a rien ajouté à cette théorie jusqu’aux recherches de Lagrange, publiées dans le Tome III des Mélanges de la Société Royale de Turin, qui parut en 1766. Lagrange y considère les objets traités par Euler dans sa deuxième et dans sa troisième pièce, savoir, la variation des éléments du mouvement elliptique et le moyen d’intégrer les équations différentielles du mouvement des planètes sans introduire d’arcs de cercle dans les intégrales. Lagrange ne paraît pas avoir connu ces pièces d’Euler, qui n’ont été publiées qu’en 1769. Pour obtenir les variations différentielles des éléments du mouvement elliptique, Lagrange étend au rayon vecteur les mêmes considérations par lesquelles Euler, dans les Mémoires de l’Académie de Berlin pour l’année 1750, avait déduit de l’expression de la latitude les variations différentielles de l’inclinaison de l’orbite et du nœud. Il différentier l’expression elliptique du rayon vecteur, et il égale à zéro la partie de cette différentielle qui dépend des variations de l’excentricité et de la longitude de l’aphélie, ce qui lui donne une première équation entre les différentielles de ces éléments. La différentielle du rayon vecteur devient ainsi la même que dans l’ellipse invariable. Il la différentier de nouveau, et il obtient entre les variations des deux mêmes éléments une seconde équation, dans laquelle il substitue, au lieu de la différence seconde du rayon vecteur, sa valeur donnée par les équations différentielles du mouvement de la planète. Mais ces équations sont inexactes, parce qu’elles ne renferment point la variation du grand axe, à laquelle Lagrange n’a point eu égard, non plus qu’à la variation de l’époque.
Le moyen par lequel Lagrange obtient les intégrales du mouvement des planètes sans arcs de cercle, quoique beaucoup moins simple que celui d’Euler, est très-ingénieux. Il consiste à égaler chaque terme des équations différentielles des mouvements de Jupiter et de Saturne à une nouvelle variable, à différentier ces variables et leurs valeurs, et à combiner les équations qui en résultent avec les équations différentielles des coordonnées des planètes, de manière à obtenir, entre
