2. Parmi les inégalités du mouvement de la Lune en longitude, Newton n’a développé que la variation. La méthode qu’il a suivie me paraît être une des choses les plus remarquables de l’Ouvrage des Principes. Je vais, en y appliquant l’Analyse, montrer son ana\\\logie avec les méthodes actuelles et faire voir qu’elle conduit aux équations différentielles du mouvement de la Lune, dont elle donne, dans le cas de la variation, les intégrales d’une manière indirecte, mais très-ingénieuse.
Newton considère d’abord l’aire décrite par le rayon vecteur de la Lune, et, pour simplifier le calcul, il fait abstraction de l’excentricité de l’orbe lunaire et de son inclinaison à l’écliptique. Il décompose l’action du Soleil sur la Lune en deux forces, l’une parallèle au rayon vecteur de la Lune, l’autre parallèle au rayon vecteur de la Terre. Newton observe que la première de ces forces ne produit aucun changement dans l’aire que le rayon vecteur de la Lune trace autour de la Terre. En retranchant ensuite de la seconde force l’action du Soleil sur la Terre, que l’on regarde ici comme immobile, il décompose la différence en deux forces, l’une dirigée suivant le rayon de l’orbe lunaire, l’autre perpendiculaire à ce rayon. Cette dernière force est la seule qui fasse varier l’aire décrite par le rayon vecteur de la Lune. Newton trouve pour son expression
étant le rapport du moyen mouvement sidéral du Soleil à celui de la
