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SUPPLÉMENT AU V^e VOLUME.

le terme maximum. Le terme qui le précède sera

${\frac {i(i-1)\ldots (i-r+2)}{1.2.3\ldots (r-1)}}(i-2r+2)^{i-2}\,;$

en égalant donc ces deux termes, on aura

${\frac {(i-r+1)}{r}}(i-2r)^{i-2}=(i-2r+2)^{i-2}.$

Cette équation donne la valeur de $r$ et, par conséquent, le rang que le terme le plus grand occupe dans la série. Si l’on prend les \logarithmes des deux membres, on a

$\log {\frac {i-r+1}{r}}=(i-2)\log \left(1+{\frac {2}{i-2r}}\right),$

ou

$(b)\qquad \log {\frac {i-r}{r}}+\log \left(1+{\frac {1}{i-r}}\right)=(i-2)\log \left(1+{\frac {2}{i-2r}}\right)\,;$

or on a, lorsque $i$ et $r$ sont de très-grands nombres,

${\begin{aligned}\log \left(1+{\frac {1}{i-r}}\right)=&{\frac {1}{i-r}}-{\frac {1}{2(i-r)^{2}}}+\ldots ,\\\log \left(1+{\frac {2}{i-2r}}\right)=&{\frac {2}{i-2r}}-{\frac {2}{(i-2r)^{2}}}+\ldots \,;\end{aligned}}$

l’équation $(b)$ deviendra donc, en négligeant les termes de l’ordre ${\frac {1}{i}},$

$\log {\frac {i-r}{r}}={\frac {2i}{i-2r}},$

ce qui donne

${\frac {i-r}{r}}=c^{\frac {2i}{i-2r}},$

$c$ étant le nombre dont le \logarithme hyperbolique est l’unité. En faisant $r=\omega i,$ on aura

$(c)\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\frac {1-\omega }{\omega }}=c^{\frac {2}{1-2\omega }}.$