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SUPPLÉMENT AU V^e VOLUME.

on a donc

${\frac {dv}{dt}}=\left({\frac {du}{dt}}\right)^{2}{\sqrt {1-e^{2}}}.$

L’expression en série de $u,$ du n^o 22 du Livre cité, donne

${\frac {du}{dt}}=1+e\cos t+{\frac {e^{2}}{1.2.2}}2^{2}\cos 2t+{\frac {e^{3}}{1.2.3.2^{2}}}\left(3^{3}\cos 3t-3\cos t\right)+\ldots .$

Le terme général de cette série est

${\frac {e^{i}}{1.2.3\ldots i.2^{i-1}}}\left[i^{i}\cos it-i(i-2)^{i}\cos(i-2)t\right.$

$\left.+{\frac {i(i-1)}{1.2}}(i-4)^{i}\cos(i-4)t-\ldots \right],$

et, dans aucun cas, il ne peut surpasser

${\frac {e^{i}}{1.2.3\ldots i.2^{i-1}}}\left[i^{i}+i(i-2)^{i}+{\frac {i(i-1)}{1.2}}(i-4)^{i}+\ldots \right].$

En suivant exactement l’analyse de l’article précédent, on trouve ce dernier terme égal à

$(e)\qquad \qquad \qquad \qquad {\frac {2}{\sqrt {i}}}{\frac {1-2\omega }{\sqrt {2\pi }}}\left[{\frac {ec(1-2\omega )}{2\omega ^{\omega }(1-\omega )^{1-\omega }}}\right]^{i},$

$\omega$ étant donné par l’équation $(c)$ de l’article précédent.

Maintenant, si l’on désigne par $\mathrm {A}$ la série

$1+e+{\frac {2^{2}e^{2}}{1.2.2}}+\ldots$

$+{\frac {e^{i'}}{1.2.3\ldots i'.2^{i'-1}}}\left[i'^{i'}+i'(i'-2)^{i'}+{\frac {i'(i'-1)}{1.2}}(i'-4)^{i'}+\ldots \right]+\ldots .$

la série étant continuée jusqu’à $i'=i,$ il est facile de voir que l’expression en série de ${\frac {du}{dt}}$ sera moindre que le développement en série de la fonction

$(o)\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \mathrm {\mathrm {A} } +{\frac {2(1-2\omega )q^{i}e^{i}}{{\sqrt {2\pi }}(1-qe)}},$

en désignant par $q$ la quantité

${\frac {(1-2\omega )c}{2\omega ^{\omega }(1-\omega )^{1-\omega }}}.$