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MÉCANIQUE CÉLESTE.

Mais on a, à très-peu près,

$\log r(i+r)=2\log {\frac {ei}{2}}\,;$

en ne conservant donc, conformément à la méthode citée, parmi les termes de l’ordre ${\frac {1}{i}},$ que ceux qui sont multipliés par $t^{2},$ et observant que

$1+2+3+\ldots +t={\frac {t^{2}+t}{2}},$

le \logarithme du terme placé à la distance $t$ du terme maximum sera

$\log p-{\frac {(i+2r)t^{2}}{2r(i+r)}}\,;$

ce terme sera donc

$p.c^{-{\frac {(i+2r)t^{2}}{2r(i+r)}}}.$

Il est facile de voir que ce sera aussi l’expression du terme qui précède $p$ du même intervalle $t.$ La somme de la série $(m)$ sera donc, à très-peu près,

$p\int dtc^{-{\frac {(i+2r)t^{2}}{2r(i+r)}}},$

l’intégrale étant prise depuis $t=-\infty$ jusqu’à $t=\infty ,$ ce qui donne cette somme égale à

$p{\sqrt {2\pi }}{\sqrt {\frac {r(i+r)}{i+2r}}}.$

Si dans l’expression précédente de $p$ on substitue, au lieu du produit

$1.2.3\ldots r(i+1)(i+2)\ldots (i+r),$

sa valeur très-approchée

${\frac {[r(i+r)]^{r}(i+r)^{i}.2\pi c^{-i-2r}{\sqrt {r(i+r)}}}{1.2.3\ldots i}},$

on aura

$p={\frac {1.2.3\ldots i(i+2r)c^{i+2r}}{2\pi {\sqrt {r(i+r)}}(i+r)^{i}}},$