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nombre des boules blanches de l’urne ; car, si l’on suppose dans l’urne trois boules blanches et une noire, la probabilité d’en extraire une boule blanche  est ${\frac {3}{4}}$ ; elle est ${\frac {2}{4}}$ si l’on suppose deux boules blanches et deux noires ; enfin elle se réduit à ${\frac {1}{4}}$ si l’on suppose trois boules noires et une blanche. Suivant le principe de la probabilité des causes, tirée des événements, les probabilités de ces trois suppositions sont entre elles comme les quantités ${\frac {3}{4}}$, ${\frac {2}{4}}$, ${\frac {1}{4}}$ ; elles sont par conséquent égales à ${\frac {3}{6}}$, ${\frac {2}{6}}$, ${\frac {1}{5}}$. Il y a ainsi cinq contre un à parier que le nombre des boules noires est inférieur ou tout au plus égal à celui des blanches. Il semble donc que, d’après l’extraction d’une boule blanche au premier tirage, la probabilité d’extraire de suite quatre boules noires doive être moindre que dans le cas de l’égalité des couleurs, ou plus petite que ${\frac {1}{16}}$. Cependant cela n’est pas, et l’on trouve, par un calcul fort simple, cette probabilité plus grande que ${\frac {1}{14}}$. En effet, elle serait la quatrième puissance de ${\frac {1}{4}}$, de ${\frac {2}{4}}$ et de ${\frac {3}{4}}$ dans la première, la seconde et la troisième des suppositions précédentes sur les couleurs des boules de l’urne. En multipliant respectivement chaque puissance par la probabilité de la supposition correspondante, ou par ${\frac {3}{6}}$, ${\frac {2}{6}}$ et ${\frac {1}{6}}$, la somme des produits sera la probabilité d’extraire de suite quatre boules noires. On a ainsi pour cette probabilité ${\frac {29}{284}}$, fraction plus grande que ${\frac {1}{14}}$. Ce paradoxe s’explique en considérant que l’indication de la supériorité des boules blanches sur les noires par le premier tirage n’exclut point la supériorité des boules noires sur les blanches, supériorité qu’exclut la supposition de l’égalité des couleurs. Or cette supériorité, quoique peu vraisemblable, doit rendre la probabilité d’amener de suite un nombre donné de boules noires plus grande que dans cette supposition, si ce nombre est considérable, et l’on vient de voir que cela commence lorsque le nombre donné est égal à quatre.

Considérons encore une urne qui renferme plusieurs boules blanches et noires. Supposons d’abord qu’il n’y ait qu’une boule blanche et une noire. On peut alors parier, avec égalité, d’extraire une boule blanche dans un tirage. Mais il semble que, pour l’égalité du pari, on doive donner, à celui qui parie d’extraire la boule blanche, deux tirages, si