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THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.
membre de cette équation ; la fonction
![{\displaystyle -{\frac {1}{1.2.3\ldots (s-1)}}{\frac {d^{s-1}{\cfrac {\mathrm {P} }{\mathrm {R} \theta ^{r+1}}}}{d\theta ^{s-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed0149608884200f242e9af3822ddb5c5241900d)
est donc, avec cette condition, le coefficient de
dans le développement de la fraction ![{\displaystyle {\frac {\mathrm {A} }{(\theta -\alpha )^{s}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20630804a3c48ef79f50209ae0ff6c54c3ff07f9)
Il suit de là que, si l’on suppose
![{\displaystyle \mathrm {Q} =a(\theta -\alpha )^{s}(\theta -\alpha ')^{s'}(\theta -\alpha '')^{s''}\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e3f9eee545a0b018cf92c03b7550dff107507f0)
le coefficient de
dans le développement de la fraction
sera
![{\displaystyle {\begin{aligned}&-{\frac {1}{1.2.3\ldots (s-1)}}{\frac {d^{s-1}}{d\theta ^{s-1}}}{\frac {\mathrm {P} }{a\theta ^{r+1}(\theta -\alpha ')^{s'}(\theta -\alpha '')^{s''}\ldots }}\\&-{\frac {1}{1.2.3\ldots (s'-1)}}{\frac {d^{s'-1}}{d\theta ^{s'-1}}}{\frac {\mathrm {P} }{a\theta ^{r+1}(\theta -\alpha )^{s}(\theta -\alpha '')^{s''}\ldots }}\\&-{\frac {1}{1.2.3\ldots (s''-1)}}{\frac {d^{s''-1}}{d\theta ^{s''-1}}}{\frac {\mathrm {P} }{a\theta ^{r+1}(\theta -\alpha )^{s}(\theta -\alpha ')^{s'}\ldots }}\\&-\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05b452eb59c539c399098bb057475175409dda57)
en faisant
dans le premier terme,
dans le second terme,
dans le troisième terme, et ainsi de suite.
Maintenant, soit
![{\displaystyle \mathrm {V} =a(\theta -\alpha )(\theta -\alpha ')(\theta -\alpha '')\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/071117ac8f3ba41881f9b48a096a1f061af09a07)
En développant la fraction
![{\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {V} -z\theta ^{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3331a5aefd4861f3eb8d2349a03a93685ffb6f00)
dans une suite ordonnée par rapport aux puissances de
on aura
![{\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {V} }}+{\frac {z\theta ^{n}}{\mathrm {V} ^{2}}}+{\frac {z^{2}\theta ^{2n}}{\mathrm {V} ^{3}}}+{\frac {z^{3}\theta ^{3n}}{\mathrm {V} ^{4}}}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69a9279e990fdb39e5193c6d0ab59ff335ab7f2e)
le coefficient de
dans le développement de la fraction
est, par ce