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LIVRE PREMIER.
pourvu que, dans le développement du second membre de cette équation, on applique à la caractéristique
les exposants des puissances de
que l’on change les différences négatives en intégrales et que l’on substitue
au lieu de
et comme ce développement renferme l’intégrale
qui peut être censée renfermer
constantes arbitraires, l’équation (2) est encore vraie, en ayant égard aux constantes arbitraires.
On peut observer que cette équation se déduit de l’équation (1), en faisant dans celle-ci
négatif et en y changeant les différences négatives en intégrales, c’est-à-dire, en écrivant
au lieu de
dans le premier membre ; et généralement, dans le développement du second membre,
au lieu de
Les équations (1) et (2) auraient également lieu, si
au lieu de varier de l’unité dans
variait d’une quantité quelconque et, pourvu que la variation de
dans
soit égale à
En effet, il est clair que, si dans
on fait
variera de
lorsque
variera de l’unité ;
se changera dans
la variation de
étant
et
se changera dans
la variation de
étant
Maintenant si, après avoir substitué ces quantités dans les équations (1) et (2), on suppose
infiniment petit et égal à
se changera dans la différence infiniment petite
Si de plus on fait
infini et
étant une quantité finie, la variation de
dans
sera
on aura donc
![{\displaystyle (q)\qquad \qquad \qquad \qquad \left\{{\begin{aligned}'\Delta ^{n}y_{x'}=&\left[\left(1+dy_{x'}\right)^{i}-1\right]^{n},\\'\Sigma ^{n}y_{x'}=&{\frac {1}{\left[\left(1+dy_{x'}\right)^{i}-1\right]^{n}}}.\end{aligned}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feef72280dae1f4cbb6cc2d7ec83cdb62ebc29be)
Or on a
![{\displaystyle \log \left(1+dy_{x'}\right)^{i}=i\log \left(1+dy_{x'}\right)=idy_{x'}=\alpha {\frac {dy_{x'}}{dx'}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45b63a6c48e7c0be956e6b4d86dfe9cd7812ed3e)
ce qui donne
![{\displaystyle \left(1+dy_{x'}\right)^{i}=c^{\textstyle \alpha {\cfrac {dy_{x'}}{dx'}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf996ca5909158a752280a60c987a533903ecb28)
étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité ; on a