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LIVRE PREMIER.

Cette équation donne les $n$ suivantes :

${\begin{aligned}{\frac {1}{t}}-1=&{\frac {q}{\alpha }}\left(1-{\frac {1}{t^{'\alpha }}}\right),\\{\frac {1}{t}}-1=&{\frac {q'}{\alpha }}\left(1-{\frac {1}{t^{'\alpha }}}\right),\\{\frac {1}{t}}-1=&{\frac {q''}{\alpha }}\left(1-{\frac {1}{t^{'\alpha }}}\right),\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

$q,q',q'',\ldots$ étant les $n$ racines de l’équation

$0=z^{n}-az^{n-1}+bz^{n-2}-\ldots .$

L’équation

${\frac {1}{t}}-1={\frac {q}{\alpha }}\left(1-{\frac {1}{t^{'\alpha }}}\right)$

donne

${\begin{aligned}{\frac {u}{t^{x}t^{'x'}}}=&{\frac {u}{t^{'x'}}}\left(1+{\frac {q}{\alpha }}-{\frac {q}{\alpha }}{\frac {1}{t^{'\alpha }}}\right)^{x}\\=&{\frac {u}{t^{'x'}}}(-1)^{x}\left\{{\begin{aligned}&{\frac {q^{x}}{\alpha ^{x}}}{\frac {1}{t^{'\alpha x}}}-x{\frac {q^{x-1}}{\alpha ^{x-1}}}\left(1+{\frac {q}{\alpha }}\right){\frac {1}{t^{'\alpha (x-1)}}}\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right\}.\end{aligned}}$

En repassant des fonctions génératrices aux coefficients, on aura

$y_{x,x'}=(-1)^{x}\left[{\frac {q^{x}}{\alpha ^{x}}}y_{0,x'+\alpha x}-x{\frac {q^{x-1}}{\alpha ^{x-1}}}\left(1+{\frac {q}{\alpha }}\right)y_{0,x'+\alpha (x-1)}+\ldots \right].$

Le second membre de cette équation peut être mis sous la forme

$\left(1+{\frac {\alpha }{q}}\right)^{x+{\frac {x'}{\alpha }}}\left(-{\frac {q}{\alpha }}\right)^{x}{'}\Delta ^{x}\left[\left({\frac {q}{\alpha +q}}\right)^{\frac {x'}{\alpha }}y_{0,x'}\right].$

En désignant donc par la fonction arbitraire $\varphi (x')$ la quantité $\left({\frac {q}{\alpha +q}}\right)^{\frac {x'}{\alpha }}y_{0,x'},$ l’expression de $y_{x,x'}$ deviendra

$y_{x,x'}=\left(1+{\frac {\alpha }{q}}\right)^{x+{\frac {x'}{\alpha }}}\left(-{\frac {q}{\alpha }}\right)^{x}{'}\Delta ^{x}\varphi (x').$