correspondantes, les signes
étant les caractéristiques des intégrales, correspondantes aux caractéristiques
des différences.
Il est clair que
est la fonction génératrice de la différence finie
ième de
variant de
variant de
variant de
Or on a
![{\displaystyle u\left({\frac {1}{t^{i}t^{'i'}t^{''i''}\ldots }}-1\right)^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77506d76d770adef4dde615a3c267976fc3857a0)
![{\displaystyle =u\left[\left(1+{\frac {1}{t}}-1\right)^{i}\left(1+{\frac {1}{t'}}-1\right)^{i'}\left(1+{\frac {1}{t''}}-1\right)^{i''}\ldots -1\right]^{n}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3651835d29d4ddb93fe2cc440a1940d79a3b2db3)
en désignant donc par
la caractéristique des différences, lorsque
varie de
de
de
et par
la caractéristique intégrale correspondante, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {\Delta }}^{n}y_{x,x',x'',\ldots }=&\left[(1+'\Delta y_{x,x',x'',\ldots })^{i}(1+''\Delta y_{x,x',x'',\ldots })^{i'}\ldots -1\right]^{n},\\{\overline {\Sigma }}^{n}y_{x,x',x'',\ldots }=&{\frac {1}{\left[(1+'\Delta y_{x,x',x'',\ldots })^{i}(1+''\Delta y_{x,x',x'',\ldots })^{i'}\ldots -1\right]^{n}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4037f4a300d1c2ce62703565d3d9366947dc802)
pourvu que, dans le développement du second membre de ces équations, on applique aux caractéristiques
les exposants des puissances de
et que l’on change les différences négatives en intégrales. On peut ainsi se dispenser d’indiquer les arbitraires que l’intégrale finie
doit introduire, parce qu’elles sont censées renfermées dans les intégrales que donne le développement de son expression.
Les deux équations précédentes ont encore lieu en supposant que dans les différences
au lieu de varier de l’unité, varient d’une quantité quelconque
pourvu que, dans la différence
varie de
de
de
Maintenant, si l’on suppose
infiniment petit, les différences ![{\displaystyle '\Delta y_{x,x',x'',\ldots },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fddab57f628afe1b383594cc7fa31f6f93645c6b)
se changeront, la première dans
la seconde dans ![{\displaystyle dx'{\frac {dy_{x,x',\ldots }}{dx'}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63a71bb1ec32f39943f4a9638cde534756714e2d)
De plus, si l’on fait
infiniment grands, et tels que l’on ait
![{\displaystyle idx=\alpha ,\qquad i'dx'=\alpha ',\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7398872cb545e536a372189b4029a351b73acc2)