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LIVRE PREMIER.
Si l’on fait
![{\displaystyle t=ax-{\frac {r{\sqrt {-1}}}{2a}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7028fb7332408ce51cc216e0ed2ffd8c52b015b6)
elle devient
![{\displaystyle {\frac {c^{-{\frac {r^{2}}{4a^{2}}}}}{a}}\int dtc^{-t^{2}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca40c22fdf134f73562977d0ea1aadcfe1fcd566)
ici l’intégrale relative à
doit être prise depuis
jusqu’à
infini, parce que ces deux limites répondent à
nul et à
infini.
En faisant
négatif dans cette formule, on aura l’expression de l’intégrale
mais, dans ce cas, les limites de l’intégrale relative à
sont
et
infini ; la réunion de ces deux intégrales est donc égale à
![{\displaystyle {\frac {c^{-{\frac {r^{2}}{4a^{2}}}}}{a}}\int dtc^{-t^{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f7bb99792dad5ed49c3a166c3394cf1f105a0b9)
l’intégrale étant prise depuis
jusqu’à
car la première intégrale ajoute à la seconde ce qui lui manque pour former la moitié de l’intégrale prise entre les deux limites infinies ; or cette dernière intégrale est
on a donc
![{\displaystyle \int dx\cos rx.c^{-a^{2}x^{2}}={\frac {\sqrt {\pi }}{2a}}c^{-{\frac {r^{2}}{4a^{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/465faa6903f63d592a0ef5140323875eac2ab24d)
L’analyse qui vient de nous conduire à ce résultat est fondée sur le passage du réel à l’imaginaire ; car on y traite les intégrales relatives à
et prises entre deux limites, dont une est imaginaire et l’autre est infinie, comme si ces limites étaient toutes réelles. Mais on peut parvenir à ce résultat de la manière suivante.
Nommons
l’intégrale
prise depuis
nul jusqu’à
infini ; on aura
![{\displaystyle {\frac {dy}{dr}}=-\int xdx\sin rx.c^{-a^{2}x^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/048ef7c6c98c4425ec4c35091c1321f91c4d46c7)
![{\displaystyle ={\frac {1}{2a^{2}}}\sin rx.c^{-a^{2}x^{2}}-{\frac {r}{2a^{2}}}\int dx\cos rx.c^{-a^{2}x^{2}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2355f931349ded7be7fe26831909cf80f0e3496c)