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LIVRE PREMIER.

déterminé ses arbitraires, on aura

$y_{s}=\int x^{s}\psi dx.$

De là et de ce que l’équation (1) est linéaire, il est facile de conclure que, si $\mathrm {S}$ est égal à

${\begin{aligned}&p^{s}\left[l+l^{(1)}s+l^{(2)}s(s-1)+\ldots \right]\\+&p_{1}^{s}\left[l_{1}+l_{1}^{(1)}s+l_{1}^{(2)}s(s-1)+\ldots \right]\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

en nommant $\psi ',\ldots$ ce que devient $\psi$ lorsqu’on y change successivement $p,l,l^{(1)},\ldots$ en $p_{1},l_{1},l_{1}^{(1)},\ldots ,$ en $p_{2},\ldots ,$ on aura

$y_{s}=\int x^{s}\psi dx+\int x^{s}\psi 'dx+\ldots ,$

la première intégrale étant prise depuis $x=h$ jusqu’à $x=p,$ la seconde étant prise depuis $x=h$ jusqu’à $x=a_{1}p,\ldots .$ Cette valeur de $y_{s}$ ne renferme aucune constante arbitraire ; mais, en la joignant à celle que nous avons trouvée précédemment pour le cas de $\mathrm {S}$ nul, on aura l’expression complète de $y_{s}.$

30. Supposons maintenant que l’on ait un nombre quelconque d’équations linéaires aux différences finies entre un pareil nombre de variables $y_{s},y'_{s},y''_{s},\ldots ,$ et dont les coefficients soient des fonctions rationnelles et entières de $s.$ Faisons alors

$y_{s}=\int x^{s}\varphi dx,\qquad y'_{s}=\int x^{s}\varphi 'dx,\qquad y''_{s}=\int x^{s}\varphi ''dx,\qquad \ldots ,$

ces diverses intégrales étant prises entre les mêmes limites déterminées et indépendantes de $s.$ Nous aurons

${\begin{alignedat}{2}\Delta y_{s}=&\int x^{s}(x-1)\varphi dx,&\qquad \Delta ^{2}y_{s}=&\int x^{s}(x-1)^{2}\varphi dx,\qquad \ldots ,\\\Delta y'_{s}=&\int x^{s}(x-1)\varphi 'dx,&\Delta ^{2}y'_{s}=&\int x^{s}(x-1)^{2}\varphi 'dx,\qquad \ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,\qquad \ \qquad \ldots ,\end{alignedat}}$

Les équations dont il s’agit pourront ainsi être mises sous les formes suivantes

$\mathrm {S} =\int x^{s}zdx,\qquad \mathrm {S} '=\int x^{s}z'dx,\qquad \mathrm {S} ''=\int x^{s}z''dx,\qquad \ldots ,$