et en faisant
infini, on voit que
est égal au produit infini
![{\displaystyle 2\varphi '\left(1+{\frac {\varphi ^{2}}{\pi ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {\varphi '^{2}}{2^{2}\pi ^{2}}}\right)\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebab130c3589627c0120031b92837b305c2e71cc)
On aura, par un procédé semblable, le produit continu de facteurs dont le terme général est une fonction rationnelle entière ou fractionnaire de
Mais l’expression à laquelle on parviendra pourra contenir d’autres transcendantes dépendantes d’intégrales définies de la forme ![{\displaystyle \int x^{\mu }dxc^{-x}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10db273ea07408c643a8209ecd797e99b7aa72fa)
On peut observer ici que, ces produits étant mis sous la forme
leur différentiation par rapport à la variable
présente une idée claire, et alors on a pour cette différentielle
Les expressions de
données par les formules
et
du numéro précédent ont encore lieu, suivant la remarque du no 30, dans le cas où
et
sont négatifs, quoique dans ce cas l’équation
![{\displaystyle 0=x^{s+1}c^{-x},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a24f05207e1b7712636cebf72e9f3fb197c650dc)
qui détermine les limites de l’intégrale définie qui représente la valeur de
n’ait pas plusieurs racines réelles. Si, dans la formule
du numéro précédent, on change
dans
et
dans
elle devient
![{\displaystyle y_{-s}={\frac {\mathrm {Y} {\sqrt {-1}}c^{s}{\sqrt {2\pi }}\left(1-{\cfrac {1}{12s}}+{\cfrac {1}{288s^{2}}}-\ldots \right)}{(-1)^{s}s^{s-{\frac {1}{2}}}\int {\cfrac {dxc^{-x}}{x^{\mu }}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/566fa92b2b4685fe2e3991f3e0514374a9bc4c0f)
étant la valeur de
qui répond à
Toute la difficulté se réduit à intégrer
Pour y parvenir, il faut suivre le même procédé dont on a fait usage pour réduire en série l’intégrale
On fera donc
![{\displaystyle x=-\mu +\varpi {\sqrt {-1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e39a974e49b18a8dbb942ef0637154ef8a16784)
étant la valeur de
donnée par l’équation
![{\displaystyle 0=d{\frac {c^{-x}}{x^{\mu }}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a996a79afb6796a9b7b35321b41af1f13c2326d9)