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LIVRE PREMIER.
On déterminera de la même manière le terme moyen d’un polynôme quelconque, élevé à une très haute puissance. Supposons d’abord le nombre des termes du polynôme impair et égal à
et représentons ce polynôme par
![{\displaystyle {\frac {1}{a^{n}}}+{\frac {1}{a^{n-1}}}+\ldots +{\frac {1}{a}}+1+a+\ldots +a^{n-1}+a^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45c268cc460a5e86ae3645793a81bf4b00396732)
En substituant
pour
, ce polynôme devient
![{\displaystyle 1+2\cos \varpi +2\cos 2\varpi +\ldots +2\cos n\varpi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cfaafe60d3cf1148226b28dbbf21def59170ea3)
or cette fonction est égale à
la puissance
du polynôme est donc
![{\displaystyle \left({\frac {\sin {\cfrac {2n+1}{2}}\varpi }{\sin {\cfrac {1}{2}}\varpi }}\right)^{s}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4c04e567e5dd0d9d31cf4a39e1f77ce692283ae)
Le terme moyen de cette puissance est le terme indépendant de
dans son développement en cosinus de l’angle
et de ses multiples. On aura évidemment ce terme en multipliant la puissance par
en prenant ensuite l’intégrale depuis
jusqu’à
et en la divisant par
Ce terme est donc égal à
![{\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\int d\varpi \left({\frac {\sin {\cfrac {2n+1}{2}}\varpi }{\sin {\cfrac {1}{2}}\varpi }}\right)^{s}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/552c467bcee3c6a8d0845b6b1d7decebf2365754)
La condition du maximum de
donne l’équation
![{\displaystyle \operatorname {tang} {\frac {2n+1}{2}}\varpi =(2n+1)\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}\varpi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44f6882791ea2a41416c3130248b5f676ab002c7)
Il y a, depuis
nul jusqu’à
plusieurs maxima, alternativement positifs et négatifs. Le premier répond à
nul et donne
![{\displaystyle \left({\frac {\sin {\cfrac {2n+1}{2}}\varpi }{\sin {\cfrac {1}{2}}\varpi }}\right)^{s}=(2n+1)^{s}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fe0ea173e3b3d428d95e3e87bd91e8215cc713b)