des n lettres prises s à s sera le coefficient de la puissance s de la première lettre dans le développement de ce binôme : on aura donc ce nombre par la formule connue du binôme.
On aura égard à la situation respective des lettres dans chaque combinaison en observant que, si l’on joint une seconde lettre à la première, on peut la placer au premier et au second rang, ce qui donne deux combinaisons. Si l’on joint à ces combinaisons une troisième lettre, on peut lui donner dans chaque combinaison le premier, le second et le troisième rang, ce qui forme trois combinaisons relatives à chacune des deux autres, en tout, six combinaisons. De là il est facile de conclure que le nombre des arrangements dont s lettres sont susceptibles est le produit des nombres depuis l’unité jusqu’à s ; il faut donc, pour avoir égard à la situation respective des lettres, multiplier par ce produit le nombre des combinaisons des n lettres prises s à s, ce qui revient à supprimer le dénominateur du coefficient du terme du binôme qui exprime ce nombre.
Imaginons une loterie composée de n numéros, dont r sortent à chaque tirage : on demande la probabilité de la sortie de s numéros donnés dans un tirage. Pour y parvenir, on déterminera le nombre des combinaisons des n numéros pris s à s. Ensuite on déterminera le nombre des combinaisons de r numéros pris semblablement s à s. Le rapport de ce dernier nombre au précédent est évidemment la probabilité que les s numéros donnés seront compris dans les r numéros qui doivent sortir ; ce rapport est donc la probabilité demandée. Ainsi, dans la loterie de France, formée, comme on sait, de numéros dont sortent à chaque tirage, la probabilité de la sortie d’un extrait donné est ou ; la loterie devrait donc alors, pour l’égalité du jeu, rendre fois la mise. Le nombre total des combinaisons à de numéros est et il en sort à chaque tirage. La probabilité de la sortie d’un ambe donné est donc , et la loterie devrait rendre alors fois et demie la mise ; elle devrait la rendre fois pour un terne, fois pour un quaterne, et fois pour un quine. La loterie est loin de faire aux joueurs ces avantages.
