Pour déterminer
reprenons l’équation
![{\displaystyle a={\frac {i+1}{n}}-{\frac {i+1}{n}}c^{-a}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d670123fc499a7773dfa0597783b8b9c406ebef)
on aura, par la formule
du no 21 du Livre II de la Mécanique céleste,
![{\displaystyle z=c^{-a}=q+{\frac {i+1}{n}}q^{2}+{\frac {3\left({\cfrac {i+1}{n}}\right)^{2}}{1.2}}q^{3}+{\frac {4^{2}\left({\cfrac {i+1}{n}}\right)^{3}}{1.2.3}}q^{4}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d668d8edde379374b54233533f1fc5e2a5107255)
étant supposé égal à
Cette valeur de
donne
![{\displaystyle c^{-nz}=c^{-nq}\left[1-(i+1)q^{2}\right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb4553cc45200a953880c71c1c04d263461f4a1a)
par conséquent,
![{\displaystyle {\frac {\Delta ^{n}s^{i}}{n^{i}}}=c^{-nq}\left(1+{\frac {i+1-2n}{2n}}q-{\frac {n+i+2}{2}}q^{2}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/556bd262f25a5a4d9ce326efcbe653e6b8393d89)
En égalant cette quantité à la fraction
on aura
![{\displaystyle q={\frac {\log k}{n}}\left(1+{\frac {i+1-2n}{2n^{2}}}-{\frac {n+i+2}{2n^{2}}}\log k\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d41b1e369418278f4fa1b92332f22cb2957953f7)
on aura donc à très peu près, pour l’expression du nombre
de tirages, après lesquels la probabilité que tous les numéros seront sortis est ![{\displaystyle {\frac {1}{k}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61c164f12df99568a9af36d562c6fe026c9d3337)
![{\displaystyle i=(\log n-\log \log k)\left(n-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\log k\right)+{\frac {1}{2}}\log k\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f232b6dcf218f6bd4d87840e1a2db5d7dd7695c1)
on doit observer que tous ces logarithmes sont hyperboliques.
Supposons la loterie composée de
numéros, ou
et
cette formule donne
![{\displaystyle i=95767{,}4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a854b8b8afcf4da499a654663fcd04a1afceb00)
pour l’expression du nombre de tirages, dans lesquels on peut parier un contre un, que les dix mille billets de la loterie sortiront ; il y a donc un peu moins d’un contre un à parier qu’ils sortiront dans