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Ainsi cette quantité exprime le nombre des cas dans lesquels on peut amener $x$ boules blanches et $x'$ boules noires. Le nombre de tous les cas possibles étant $(p+q)^{x+x'},$ la probabilité d’amener $x$ boules blanches et $x'$ boules noires est

${\frac {1.2.3\ldots (x+x')}{1.2.3\ldots x.1.2.3\ldots x'}}\left({\frac {p}{p+q}}\right)^{x}\left({\frac {q}{p+q}}\right)^{x'},$

où l’on doit observer que ${\frac {p}{p+q}}$ est la probabilité de tirer une boule blanche de l’une des urnes, et que ${\frac {q}{p+q}}$ est la probabilité d’en tirer une boule noire.

Il est visible qu’il est parfaitement égal de tirer $x$ boules blanches et $x'$ boules noires de $x+x'$ urnes qui renferment chacune $p$ boules blanches et $q$ boules noires, ou d’une seule de ces urnes, pourvu que l’on remette dans l’urne la boule extraite à chaque tirage.

Considérons maintenant un nombre $x+x'+x''$ d’urnes dont la première renferme $p$ boules blanches, $q$ boules noires et $r$ boules rouges, dont la seconde renferme $p'$ boules blanches, $q'$ boules noires et $r'$ boules rouges, et ainsi de suite. Supposons que l’on tire une boule de chacune de ces urnes. Le nombre de tous les cas possibles sera le produit des $x+x'+x''$ facteurs,

$(p+q+r)(p'+q'+r')(p''+q''+r'')\ldots .$

Le nombre des cas dans lesquels on amènera $x$ boules blanches, $x'$ boules noires et $x''$ boules rouges sera la somme de tous les termes du développement de ce produit, dans lesquels la lettre $p$ sera répétée $x$ fois, la lettre $q,\ x'$ fois et la lettre $r,\ x''$ fois. Si toutes les lettres accentuées $p',q',\ldots$ sont égales à leurs correspondantes non accentuées, le produit précédent se change dans le trinôme $(p+q+r)^{x+x'+x''}.$ Le terme de son développement, qui a pour facteur $p^{x}q^{x'}r^{x''}$ est

${\frac {1.2.3\ldots (x+x'+x'')}{1.2.3\ldots x.1.2.3\ldots x'1.2.3\ldots x''}}p^{x}q^{x'}r^{x''}\,;$

ainsi, le nombre de tous les cas possibles étant $(p+q+r)^{x+x'+x''},$ la