Maintenant, si l’on repasse des fonctions génératrices à leurs coefficients, et si l’on observe que
est nul, parce que le joueur
perd nécessairement la partie lorsqu’il n’a plus de jetons, l’équation précédente donnera, en repassant des fonctions génératrices aux coefficients.
![{\displaystyle y_{x,x'}={\frac {1}{2^{x}p^{x-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e45f6e8876e6c929392f1143792d3eaa6bc9471a)
![{\displaystyle \times \left[\mathrm {X} ^{(x-1)}y_{1,x+x'-1}+\mathrm {X} ^{(x-3)}y_{1,x+x'-3}+\ldots +\mathrm {X} ^{(x-2r-1)}y_{1,x+x'-2r-1}+\ldots \right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d60ccc82315fd4d5f82a9952e8cbcd785528e461)
la série du second membre s’arrêtant lorsque
a une valeur négative.
sont les coefficients de
dans le développement de la fonction
![{\displaystyle (i)\qquad \qquad {\frac {\left({\cfrac {1}{t'}}+{\sqrt {{\cfrac {1}{t'^{2}}}-4pq}}\right)^{x}-\left({\cfrac {1}{t'}}-{\sqrt {{\cfrac {1}{t'^{2}}}-4pq}}\right)^{x}}{\sqrt {{\cfrac {1}{t'^{2}}}-4pq}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab48f435f7ef506343beb658b5f754db870b7eeb)
Si l’on nomme
le coefficient de
dans le développement de
sera une fonction de
et de
génératrice de
Si l’on nomme pareillement
le coefficient de
dans le développement de
le produit de
par la fonction
sera la fonction génératrice du second membre de l’équation précédente ; cette fonction est donc égale à
Supposons
alors
devient
et cette quantité est égale à l’unité ; car il est certain que
a gagné la partie, lorsqu’il a gagné tous les jetons de
est donc alors la fonction génératrice de l’unité ; or
est ici zéro ou un nombre pair, car le nombre des coups dans lesquels
peut gagner la partie est égal à
plus un nombre pair : en effet,
doit pour cela gagner tous les jetons de
, et de plus il doit regagner chaque jeton qu’il a perdu, ce qui exige deux coups. Ensuite,
exprimant un nombre de coups dans lequel
peut gagner la partie, il est égal à
plus un nombre pair ;
étant le nombre des coups qui manquent au joueur
pour arriver à
est donc zéro ou un nombre pair. De là il suit que, dans le cas de
devient
on