ou
![{\displaystyle \mathrm {Q} ={\frac {2\sin(a+b)\varpi }{\sin \varpi (\cos \varpi )^{a+b-1}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfa6d30375d3650b78a69c2e9b8f24e7eab098b4)
Les racines de l’équation
sont donc représentées par
![{\displaystyle \varpi ={\frac {(r+1)\pi }{a+b}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/995e9a502c16129cd9befe24e256535b126682cc)
étant un nombre entier positif qui peut s’étendre depuis
jusqu’à
Lorsque
est un nombre pair,
est une des valeurs de
il faut l’exclure, parce que,
devenant nul alors, cette valeur de
ne rend pas
nul. Dans ce cas, l’équation
n’a que
racines ; mais, comme le terme dépendant de la valeur
est multiplié dans l’expression de
par une puissance positive de
on peut conserver la valeur de
qui donne
puisque le terme qui lui correspond dans l’expression de
disparaît.
Maintenant on a
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {Q} }{dt'}}={\frac {d\mathrm {Q} }{d\varpi }}{\frac {d\varpi }{dt}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d124fb17555dffb578d00311c8f3bd37c8602613)
d’où l’on tire, en vertu de l’équation ![{\displaystyle \sin(a+b)\varpi =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c9f0eff1673744f8fbd5ade1cd3e3715329f51b)
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {Q} }{dt'}}={\frac {4(a+b){\sqrt {pq}}\cos(r+1)\pi }{\sin ^{2}\varpi (\cos \varpi )^{a+b-3}}}={\frac {4(a+b){\sqrt {pq}}(-1)^{r+1}}{\sin ^{2}\varpi (\cos \varpi )^{a+b-3}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9feb5a4e6a7ec8b3d156d6f51fdd1c17446dd926)
Le terme
![{\displaystyle {\frac {-\mathrm {P} }{\left(1-t'^{2}\right)t'^{2i+1}{\cfrac {d\mathrm {Q} }{dt'}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b1bf294b7b0c7fae50d441c54b4fd14dbed0a4a)
en observant que
![{\displaystyle \mathrm {P} ={\frac {2\sin a\varpi }{\sin \varpi (\cos \varpi )^{a-1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/489e089968e6a6849a3b5d54d51bd1b2ea6e94e2)
devient ainsi
![{\displaystyle (h)\ {\frac {(-1)^{r+1}2^{2i+2}(pq)^{i+1}\sin {\cfrac {(r+1)\pi }{a+b}}\sin {\cfrac {(r+1)a\pi }{a+b}}\left[\cos {\cfrac {(r+1)\pi }{a+b}}\right]^{b+2i+1}}{(a+b)\left[p^{2}-2pq\cos {\cfrac {2(r+1)\pi }{a+b}}+q^{2}\right]}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64e528005b89b8074c1ce2b053d6c0e9eb81cc22)