étant supposé un très grand nombre, fort supérieur au nombre
il suffit de considérer le terme du premier membre qui correspond à
nul, et alors on a
![{\displaystyle a+2i+1={\frac {\log \left[{\cfrac {a(k-1)}{2}}\sin {\cfrac {\pi }{2a}}\right]}{\log \left(\cos {\cfrac {\pi }{2a}}\right)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bc6261eec39e2d07af71b7fe4b98bfc39079e21)
ces logarithmes pouvant être à volonté hyperboliques ou tabulaires.
Si, dans les formules précédentes, on suppose
infini,
restant un nombre fini, on aura le cas dans lequel le joueur
joue contre le joueur
qui a primitivement le nombre
de jetons, jusqu’à ce qu’il ait gagné tous les jetons de
, sans que jamais celui-ci puisse gagner
, quel que soit le nombre des jetons qu’il lui gagne. Dans ce cas, la fonction génératrice
de
se réduit à
![{\displaystyle {\frac {2^{b}p^{b}t'^{b}}{\left(1-t'^{2}\right)\left(1+{\sqrt {1-4pqt'^{2}}}\right)^{b}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cf1fc6865a5df5ec1674ac142ad573bcc379ad4)
car alors
et
développés, ne renferment que des puissances infinies de
puissances que l’on doit négliger, quand on ne considère qu’un nombre fini de coups. On a par ce qui précède
![{\displaystyle \left(1+{\sqrt {1-4pqt'^{2}}}\right)^{-b}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e907ea8859cde7ef5e9198573ada4e4c835aa94)
![{\displaystyle ={\frac {1}{2^{b}}}\left\{{\begin{aligned}1&+bpqt'^{2}+{\frac {b(b+3)}{1.2}}p^{2}q^{2}t'^{4}+{\frac {b(b+4)(b+5)}{1.2.3}}p^{3}q^{3}t'^{6}+\ldots \\&+{\frac {b(b+i+1)(b+i+2)\ldots (b+2i-1)p^{i}q^{i}t'^{2i}}{1.2.3\ldots i}}+\ldots \end{aligned}}\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/825b324b0e541bcf05a775d2fe1e34b37e0574ce)
En multipliant ce second membre par
coefficient de
sera
![{\displaystyle p^{b}\left[1+bpq+{\frac {b(b+3)}{1.2}}p^{2}q^{2}+{\frac {b(b+i+1)(b+i+2)\ldots (b+2i-1)p^{i}q^{i}}{1.2.3\ldots i}}\right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99f69981317adecfcce68ca0c51f1ce3be1510a2)
c’est la valeur de
ou la probabilité que
gagnera la partie avant ou au coup ![{\displaystyle b+2i.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f34dee51ec42b6cb9065ab2fca442e207308cfc9)