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Si l’on multiplie de nouveau par $\mathrm {B}$ le produit de $\mathrm {A}$ par $\mathrm {B}$, ce qui revient à multiplier $\mathrm {A}$ par le carré de $\mathrm {B}$, on formera une troisième fonction génératrice, dans laquelle le coefficient d’une puissance quelconque de t sera une dérivée semblable du coefficient correspondant du produit précédent ; on pourra donc l’exprimer par la même caractéristique δ, placée devant la dérivée précédente, et alors cette caractéristique sera deux fois écrite devant le coefficient correspondant de la série $\mathrm {A}$. Mais, au lieu de l’écrire ainsi deux fois, on lui donne pour exposant le nombre deux.

En continuant ainsi, on voit généralement que, si l’on multiplie $\mathrm {A}$ par la puissance n de $\mathrm {B}$, on aura le coefficient d’une puissance quelconque de la variable t dans le produit en plaçant devant le coefficient correspondant de $\mathrm {A}$ la caractéristique δ avec n pour exposant.

Supposons que $\mathrm {B}$ soit l’unité divisée par t ; alors, dans le produit de $\mathrm {A}$ par $\mathrm {B}$, le coefficient d’une puissance de cette variable sera le coefficient d’une puissance supérieure d’une unité dans $\mathrm {A}$, d’où il suit que, dans le produit de $\mathrm {A}$ par la puissance n de $\mathrm {B}$, ce coefficient sera celui de la puissance supérieure de n unités dans $\mathrm {A}$.

Désignons par $\mathrm {C}$ l’unité divisée par la variable t, moins un ; alors, dans le produit de $\mathrm {A}$ par $\mathrm {C}$, le coefficient d’une puissance de la variable sera le coefficient de sa puissance supérieure d’une unité dans la série $\mathrm {A}$, moins le coefficient de cette puissance dans la même série ; il sera donc la différence finie de ce dernier coefficient dans lequel on fait varier l’indice de l’unité. Ainsi, dans le produit de $\mathrm {A}$ par la puissance n de $\mathrm {C}$, le coefficient sera la différence n^ème du coefficient correspondant de $\mathrm {A}$.

$\mathrm {B}$ étant ici égal à l’unité plus $\mathrm {C}$, la puissance n de $\mathrm {B}$ est identiquement égale à la même puissance du binôme un plus $\mathrm {C}$. En multipliant donc par $\mathrm {A}$ ces deux puissances, les deux produits seront identiques. Or, dans le produit de $\mathrm {A}$ par la puissance n de $\mathrm {B}$, le coefficient d’une puissance quelconque de la variable t est, comme on l’a vu, le coefficient de la puissance supérieure de n unités dans $\mathrm {A}$ ; il est donc la fonction de l’indice augmenté du nombre n. Dans le produit de $\mathrm {A}$ par