joueurs, au moment où le jeu commence ; car cette probabilité devient, après le premier coup, ou suivant que le joueur gagne ou perd, et la probabilité de chacun de ces événements est
Maintenant, la fonction génératrice de l’équation (1) est, par le no 20 du Livre Ier,
étant relatif à la variable , et étant relatif à la variable , en sorte que est le coefficient de dans le développement de cette fonction ; est une fonction de qu’il s’agit de déterminer.
Pour cela, nous ferons
la fonction génératrice de sera le coefficient de dans le développement de la fonction elle sera donc
La probabilité que la partie finira précisément au coup est évidemment la somme des probabilités de chaque joueur pour la gagner à ce coup ; elle est donc
par conséquent la fonction génératrice de cette probabilité est
ou
En l’égalant à la fonction génératrice de cette probabilité, que nous avons trouvée ci-dessus et qui est